В лабораторном эксперименте измеряли количество колоний бактерий Pseudomonas aeruginosa в 1 мл раствора при различных концентрациях питательных веществ. Предполагается, что число колоний подчиняется Пуассоновскому распределению Экспериментальные данные:

24 октября 2025
Теория вероятностей

Условие:

В лабораторном эксперименте измеряли количество колоний бактерий Pseudomonas aeruginosa в 1 мл раствора при различных концентрациях питательных веществ. Предполагается, что число колоний подчиняется Пуассоновскому распределению

Экспериментальные данные: Число колоний (kkk) 0, 1, 2, 3, 4, 5 и более и Частота наблюдений (fkf_kfk) 5, 15, 25, 30, 20, 5 Пусть априорное распределение для параметра λ— гамма-распределение Γ(a,b с параметрами a0=2, b0=1. 1.Найдите апостериорное распределение параметра λ после наблюдений. 2.Оцените математическое ожидание E[λ]и дисперсию апостериорного распределения. 3.Рассчитайте 95%-ный байесовский доверительный интервал для λ

Решение:

Для решения задачи, давайте пройдемся по шагам. 1. Нахождение апостериорного распределения параметра λ. Сначала определим, что у нас есть данные о количестве колоний и частоте наблюдений. Мы можем использовать формулу для апостериорного распределения, которая в данном случае будет также гамма-распределением. Априорное распределение для λ: λ ~ Γ(a0, b0) = Γ(2, 1) Теперь найдем параметры апостериорного распределения. Пуассоновское распределение имеет параметр λ, и если мы наблюдаем n событий (в нашем случае это общее количество колоний), то: n = 0 5 + 1 15 + 2 25 + 3 30 + 4 20 + 5 5 ...