В лифт на первом этаже девятиэтажного дома вошли три человека, каждый из которых может выйти независимо друг от друга на любом этаже со 2-го по 9-й. Предполагая, что всевозможные способы выхода пассажиров из лифта равновероятны, вычислить вероятность

Для решения задачи начнем с определения общего количества способов, которыми три человека могут выйти ...

Каждый из трех пассажиров может выйти на любом из 8 этажей (со 2-го по 9-й). Таким образом, общее количество способов выхода трех пассажиров можно вычислить как:

$$8 \times 8 \times 8 = 8^3 = 512$$

Теперь перейдем к каждому из пунктов задачи.

Чтобы все три пассажира вышли на одном этаже, они могут выбрать любой из 8 этажей. Таким образом, количество благоприятных исходов равно 8 (каждый из этажей может быть выбран).

Вероятность того, что все пассажиры выйдут на одном этаже, будет равна:

$$P(все на одном этаже) = \frac{8}{512} = \frac{1}{64}$$

Чтобы все три пассажира вышли на разных этажах, мы можем выбрать 3 этажа из 8, а затем распределить пассажиров по этим этажам.

1. Сначала выбираем 3 этажа из 8. Количество способов выбрать 3 этажа из 8 можно вычислить по формуле сочетаний:

$$C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$$

2. Затем для каждого выбора этажей можно распределить 3 пассажиров по 3 этажам. Количество способов распределить 3 пассажиров по 3 этажам равно (3!):

$$3! = 6$$

Таким образом, общее количество благоприятных исходов, когда все пассажиры выходят на разных этажах, равно:

$$56 \times 6 = 336$$

Теперь вычислим вероятность:

$$P(все на разных этажах) = \frac{336}{512} = \frac{21}{32}$$

Здесь все три пассажира должны выйти на одном и том же этаже, а именно на пятом. Количество благоприятных исходов в этом случае равно 1 (все выходят на 5-й этаж).

Вероятность того, что все пассажиры выйдут на пятом этаже, будет равна:

$$P(все на пятом этаже) = \frac{1}{512}$$

а) Вероятность того, что все пассажиры выйдут на одном этаже: (\frac{1}{64})

б) Вероятность того, что все пассажиры выйдут на разных этажах: (\frac{21}{32})

в) Вероятность того, что все пассажиры выйдут на пятом этаже: (\frac{1}{512})