В студенческой группе из 20 человек шестеро занимаются спортом. Какова вероятность того, что среди семи пришедших на соревнования студентов будет насчитываться спортсменов: а) ни одного; б) ровно четыре; в) не более трех; г) наивероятнейшее число

Для решения этой задачи мы будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (7 студентов), два возможных исхода (спортсмен или не спортсмен) и известная вероятность успеха (занимается спортом или нет).

1. Определим вероятность того, что студент занимается спортом. В группе 20 студентов, из которых 6 занимаются спортом. Следовательно, вероятность того, что случайно...
   $$P(X = 0) = C(7, 0) \cdot (0.3)^0 \cdot (0.7)^7$$
   $$C(7, 0) = 1$$
   $$P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot (0.7)^7 \approx 0.0823543$$

$$P(X = 4) = C(7, 4) \cdot (0.3)^4 \cdot (0.7)^3$$

$$C(7, 4) = \frac{7!}{4!3!} = 35$$

$$P(X = 4) = 35 \cdot (0.3)^4 \cdot (0.7)^3 \approx 35 \cdot 0.0081 \cdot 0.343 = 0.101$$

Это сумма вероятностей от 0 до 3:

$$P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)$$

Мы уже нашли $P(X = 0)$. Теперь найдем остальные.

$$P(X = 1) = C(7, 1) \cdot (0.3)^1 \cdot (0.7)^6 = 7 \cdot 0.3 \cdot (0.7)^6 \approx 7 \cdot 0.3 \cdot 0.117649 = 0.245$$

$$P(X = 2) = C(7, 2) \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^5 = 21 \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^5 \approx 21 \cdot 0.09 \cdot 0.16807 = 0.317$$

$$P(X = 3) = C(7, 3) \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^4 = 35 \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^4 \approx 35 \cdot 0.027 \cdot 0.2401 = 0.227$$

Теперь суммируем:

$$P(X \leq 3) \approx 0.082 + 0.245 + 0.317 + 0.227 \approx 0.871$$

Наивероятнейшее число спортсменов — это значение k, для которого вероятность P(X = k) максимальна. Мы можем вычислить вероятности для k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и найти максимальное значение.

На основе предыдущих расчетов, вероятности для k = 0, 1, 2, 3, 4:

• $P(X = 0) \approx 0.082$
• $P(X = 1) \approx 0.245$
• $P(X = 2) \approx 0.317$
• $P(X = 3) \approx 0.227$
• $P(X = 4) \approx 0.101$

Наивероятнейшее число спортсменов — это 2, так как вероятность максимальна.

а) $P(X = 0) \approx 0.082$
б) $P(X = 4) \approx 0.101$
в) $P(X \leq 3) \approx 0.871$
г) Наивероятнейшее число спортсменов — 2.