Условие:
Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и незави-Симых «спытаний равна 0,8. Найти вероятности пого что в 225 независи мых испытаниях событие наступит ровно 168 раз; не менее 174 более 192 раз.
Решение:
Для решения данной задачи мы будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество независимых испытаний, и каждое испытание имеет два во...
В нашем случае: - \( n = 225 \) (общее количество испытаний) - \( p = 0.8 \) (вероятность наступления события в каждом испытании) - \( q = 1 - p = 0.2 \) (вероятность ненаступления события) Вероятность того, что событие наступит ровно \( k \) раз в \( n \) испытаниях, вычисляется по формуле биномиального распределения: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Для \( k = 168 \): \[ P(X = 168) = C(225, 168) \cdot (0.8)^{168} \cdot (0.2)^{225-168} \] Вычислим биномиальный коэффициент \( C(225, 168) \): \[ C(225, 168) = \frac{225!}{168! \cdot (225-168)!} = \frac{225!}{168! \cdot 57!} \] Это значение можно вычислить с помощью программного обеспечения или калькулятора, так как оно может быть очень большим. Теперь подставим значения в формулу: \[ P(X = 168) = C(225, 168) \cdot (0.8)^{168} \cdot (0.2)^{57} \] Для вычисления вероятности того, что событие наступит не менее 174 раз, мы можем использовать: \[ P(X \geq 174) = 1 - P(X \leq 173) \] Здесь \( P(X \leq 173) \) можно вычислить как сумму вероятностей от 0 до 173: \[ P(X \leq 173) = \sum_{k=0}^{173} P(X = k) \] Аналогично, для вычисления вероятности того, что событие наступит более 192 раз, мы используем: \[ P(X 192) = 1 - P(X \leq 192) \] Для точного вычисления всех вероятностей, особенно для больших \( n \), рекомендуется использовать статистические программные средства или калькуляторы, которые могут обрабатывать биномиальные распределения. Если у вас есть доступ к программному обеспечению, такому как Python с библиотеками SciPy или NumPy, вы можете использовать функции для вычисления биномиальных вероятностей напрямую.