Давайте решим задачу шаг за шагом.
1) Какой закон распределения используется в задаче?
В данной задаче мы имеем дело с геометрическим распределением. Это распределение описывает количество испытаний до первого успеха, где успехом считается встреча с медведем. Вероятность успеха (встретить медведя) равна \( p = 0.5 \), а вероятность неуспеха (не встретить медведя) равна \( q = 1 - p = 0.5 \).
2) Начертить график функции расп...
Функция распределения для геометрического распределения задается формулой:
\[
P(X = k) = (1 - p)^{k-1} p
\]
где \( k \) — количество посещений леса до встречи с медведем. В нашем случае:
\[
P(X = k) = (0.5)^{k-1} \cdot 0.5 = 0.5^k
\]
График функции распределения будет выглядеть как экспоненциальная функция, убывающая с увеличением \( k \).
Для геометрического распределения:
- Математическое ожидание \( E(X) \) вычисляется по формуле:
\[
E(X) = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.5} = 2
\]
- Дисперсия \( D(X) \) вычисляется по формуле:
\[
D(X) = \frac{1 - p}{p^2} = \frac{0.5}{(0.5)^2} = 2
\]
- Среднее квадратичное отклонение \( \sigma(X) \) вычисляется как корень из дисперсии:
\[
\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{2} \approx 1.41
\]
- Первый момент (математическое ожидание):
\[
E(X) = 2
\]
- Второй момент \( E(X^2) \) можно найти по формуле:
\[
E(X^2) = \frac{2}{p^2} = \frac{2}{(0.5)^2} = 8
\]
- Третий момент \( E(X^3) \):
\[
E(X^3) = \frac{6}{p^3} = \frac{6}{(0.5)^3} = 48
\]
- Четвертый момент \( E(X^4) \):
\[
E(X^4) = \frac{24}{p^4} = \frac{24}{(0.5)^4} = 384
\]
- Мода для геометрического распределения равна 1, так как это значение, при котором вероятность максимальна.
- Медиана \( m \) для геометрического распределения может быть найдена по формуле:
\[
m = \lceil \frac{1}{p} \rceil = \lceil 2 \rceil = 2
\]
Наиболее вероятное число посещений леса (мода) равно 1, так как это значение, при котором вероятность максимальна.
1. Геометрическое распределение.
2. График функции распределения — убывающая экспоненциальная функция.
3. Математическое ожидание \( E(X) = 2 \), дисперсия \( D(X) = 2 \), среднее квадратичное отклонение \( \sigma(X) \approx 1.41 \).
4. Первые четыре момента: \( E(X) = 2 \), \( E(X^2) = 8 \), \( E(X^3) = 48 \), \( E(X^4) = 384 \).
5. Медиана \( m = 2 \), мода = 1.
6. Наиболее вероятное число посещений леса = 1.
