Выяснить, является ли потенциальным, соленоидальным или гармоническим векторное поле

Добавлена: 28.04.2026
Обновлена: 28.04.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Условие:

Выяснить, является ли потенциальным, соленоидальным или гармоническим векторное поле

\vec{F}(x, y, z)=\left(x^{2}-y^{2}\right) \overrightarrow{\mathrm{i}}+\left(y^{2}-z^{2}\right) \vec{\jmath}+\left(z^{2}-x^{2}\right) \vec{k}

Решение:

Найдем последовательно, обладает ли данное векторное поле вида

F(x, y, z) = (x² – y²)i + (y² – z²)j + (z² – x²)k

следующими свойствами: потенциалтное (консервативное), соленоидальное и гармоническое.

Проверка на потенциальность

Поле является потенциальным (консервативным), если его ротор равен нулю. Найдем компоненты ротора.

Ротор F = (∂(F_z)/∂y – ∂(F_y)/∂z, ∂(F_x)/∂z – ∂(F_z)/∂x, ∂(F_y)/∂x – ∂(F_x)/∂y).

Определим по частям:
• F_x = x² – y², F_y = y² – z², F_z = z² – x².
• Первая компонента:
∂(F_...