8.10. Выясните, является ли код оптимальным для распределения вероятностей 𝑃 = (0.15,0.25,0.05,0.01,0.09,0.25,0.15,0.05): 34 1) 𝑉 = (001,010,10,11,101,011,0110,00);

8 октября 2025
Теория вероятностей

Условие:

8.10. Выясните, является ли код оптимальным для распределения вероятностей
𝑃 = (0.15,0.25,0.05,0.01,0.09,0.25,0.15,0.05):
34
1) 𝑉 = (001,010,10,11,101,011,0110,00);

Решение:

Чтобы выяснить, является ли данный код оптимальным для распределения вероятностей \( P = (0.15, 0.25, 0.05, 0.01, 0.09, 0.25, 0.15, 0.05) \), мы можем использова...

Код является префиксным, если ни один кодовый символ не является префиксом другого. Давайте проверим, является ли данный код префиксным. Коды: - 001 - 010 - 10 - 11 - 101 - 011 - 0110 - 00 Теперь проверим, является ли какой-либо код префиксом другого: - 001 не является префиксом ни одного из других кодов. - 010 не является префиксом ни одного из других кодов. - 10 является префиксом кода 101 и 11. - 11 является префиксом кода 110. - 101 не является префиксом ни одного из других кодов. - 011 не является префиксом ни одного из других кодов. - 0110 не является префиксом ни одного из других кодов. - 00 не является префиксом ни одного из других кодов. Так как код 10 является префиксом для других кодов, данный код не является префиксным. Для проверки оптимальности кода можно использовать неравенство Шеннона: \[ L \geq -\logi) \] где \( L \) — длина кода, а \( P_i \) — вероятность символа. Посчитаем длины кодов: - 001: 3 - 010: 3 - 10: 2 - 11: 2 - 101: 3 - 011: 3 - 0110: 4 - 00: 2 Теперь найдем среднюю длину кода \( L \): \[ L = \sum (Pi) \] где \( Pi \) — длина соответствующего кода. Подсчитаем: \[ L = 0.15 \cdot 3 + 0.25 \cdot 3 + 0.05 \cdot 2 + 0.01 \cdot 2 + 0.09 \cdot 3 + 0.25 \cdot 2 + 0.15 \cdot 3 + 0.05 \cdot 2 \] \[ L = 0.45 + 0.75 + 0.1 + 0.02 + 0.27 + 0.5 + 0.45 + 0.1 = 2.64 \] Теперь найдем энтропию \( H \): \[ H = -\sum (P2(P_i)) \] Посчитаем: \[ H = - (0.15 \cdot \log2(0.25) + 0.05 \cdot \log2(0.01) + 0.09 \cdot \log2(0.25) + 0.15 \cdot \log2(0.05)) \] После вычислений получаем, что \( H \approx 2.7 \). Средняя длина кода \( L \approx 2.64 \), а энтропия \( H \approx 2.7 \). Поскольку \( L H \), это указывает на то, что код не оптимален. Код \( V = (001, 010, 10, 11, 101, 011, 0110, 00) \) не является оптимальным для данного распределения вероятностей \( P \).