Задача № 4 Задан закон распределения дискретной случайной величины :  – 2 – 1 0 1 2 3 4 p 0,01 P2 0,23 0,28 0,19 0,11 0,06 Найти: а) неизвестную вероятность р2; б) математическое ожидание M, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение  данной

Для решения задачи, давайте поэтапно разберем каждый пункт.

а) Найти неизвестную вероятность $p_2$

Сначала запишем все известные вероятности:

$
p\xi = \{0.01, p2, 0.23, 0.28, 0.19, 0.11, 0.06\}
$

Сумма всех вероятностей должна равняться 1:

$
0.01 + p_2 + 0.23 + 0.28 + 0.19 + 0.11 + 0.06 = 1
$

Теперь сложим известные вероятности:

$
0.01 + 0.23 + 0.28 + 0.19 + 0.11 + 0.06 = 0.88
$

Теперь подставим это значение в уравнение:

$
0.88 + p_2 = 1
$

Решим это уравнение для $p_2$:

$
p_2 = 1 - 0.88 = 0.12
$

Таким образом, $p_2 = 0.12$.

б) Найти математич...

Теперь, когда мы знаем все вероятности, можем вычислить математическое ожидание:

$$Mi \cdot p_i)$$

Где $xi$ – соответствующие вероятности:

$$M_\xi = 2 \cdot 0.01 + (-1) \cdot 0.12 + 0 \cdot 0.23 + 1 \cdot 0.28 + 2 \cdot 0.19 + 3 \cdot 0.11 + 4 \cdot 0.06$$

Теперь подставим значения:

$$M_\xi = 0.02 - 0.12 + 0 + 0.28 + 0.38 + 0.33 + 0.24$$

Сложим все:

$$M_\xi = 0.02 - 0.12 + 0.28 + 0.38 + 0.33 + 0.24 = 1.13$$

Теперь найдем дисперсию $D_\xi$:

$$D\xi)^2$$

Сначала найдем $M(\xi^2)$:

$$M(\xi^2) = \sum (xi)$$

Подставим значения:

$$M(\xi^2) = 2^2 \cdot 0.01 + (-1)^2 \cdot 0.12 + 0^2 \cdot 0.23 + 1^2 \cdot 0.28 + 2^2 \cdot 0.19 + 3^2 \cdot 0.11 + 4^2 \cdot 0.06$$

Теперь подставим и посчитаем:

$$M(\xi^2) = 4 \cdot 0.01 + 1 \cdot 0.12 + 0 + 1 \cdot 0.28 + 4 \cdot 0.19 + 9 \cdot 0.11 + 16 \cdot 0.06$$

$$= 0.04 + 0.12 + 0 + 0.28 + 0.76 + 0.99 + 0.96$$

Сложим все:

$$M(\xi^2) = 0.04 + 0.12 + 0.28 + 0.76 + 0.99 + 0.96 = 3.15$$

Теперь найдем дисперсию:

$$D_\xi = 3.15 - (1.13)^2 = 3.15 - 1.2769 = 1.8731$$

Среднее квадратическое отклонение $\sigma$:

$$\sigma = \sqrt{D_\xi} = \sqrt{1.8731} \approx 1.37$$

Функция распределения $F(x)$ определяется как сумма вероятностей для всех значений, меньших или равных $x$.

$$F(x) = P(\xi \leq x)$$

Теперь найдем $F(x)$ для всех значений:

• Для $x -1$: $F(x) = 0$
• Для $-1 \leq x 0$: $F(x) = 0.12$
• Для $0 \leq x 1$: $F(x) = 0.12 + 0.23 = 0.35$
• Для $1 \leq x 2$: $F(x) = 0.35 + 0.28 = 0.63$
• Для $2 \leq x 3$: $F(x) = 0.63 + 0.19 = 0.82$
• Для $3 \leq x 4$: $F(x) = 0.82 + 0.11 = 0.93$
• Для $x \geq 4$: $F(x) = 1$

Теперь мы можем построить график функции распределения $F(x)$. График будет ступенчатым, с переходами в точках $-1, 0, 1, 2, 3, 4$.

а) $p_2 = 0.12$

б) $M\xi \approx 1.8731$, $\sigma \approx 1.37$

в) Функция распределения $F(x)$:

• $F(x) = 0$ для $x -1$
• $F(x) = 0.12$ для $-1 \leq x 0$
• $F(x) = 0.35$ для $0 \leq x 1$
• $F(x) = 0.63$ для $1 \leq x 2$
• $F(x) = 0.82$ для $2 \leq x 3$
• $F(x) = 0.93$ для $3 \leq x 4$
• $F(x) = 1$ для $x \geq 4$

График функции распределения будет выглядеть как ступенчатая функция.