Задание №2. Вывести методом наибольшего правдоподобия точечные оценки для неизвестных параметров предполагаемого нормального распределения в общем виде и найти их для указанных статистических данны́х. Статистические данные:

Для решения задачи о нахождении точечных оценок параметров нормального распределения методом наибольшего правдоподобия, начнем с определения необходимых параметров. Пр...

Сначала определим выборочные данные на основе предоставленной таблицы. У нас есть интервалы и количество наблюдений в каждом интервале: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \mathrm{x}{\mathrm{i}+1} 0 ; 5 5 ; 10 10 ; 15 15 ; 20 20 ; 25 \\ \hline \mathrm{n}_{\mathrm{i}} 15 75 100 50 10 \\ \hline \end{array} \] Теперь найдем общее количество наблюдений \( N \): \[ N = 15 + 75 + 100 + 50 + 10 = 250 \] Для нахождения выборочного среднего \( \bar{x} \) используем формулу: \[ \bar{x} = \frac{\sum (xi)}{N} \] Где \( xi \) - количество наблюдений в этом интервале. Сначала найдем середины интервалов: - Для интервала \( [0, 5] \): \( x_1 = \frac{0 + 5}{2} = 2.5 \) - Для интервала \( [5, 10] \): \( x_2 = \frac{5 + 10}{2} = 7.5 \) - Для интервала \( [10, 15] \): \( x_3 = \frac{10 + 15}{2} = 12.5 \) - Для интервала \( [15, 20] \): \( x_4 = \frac{15 + 20}{2} = 17.5 \) - Для интервала \( [20, 25] \): \( x_5 = \frac{20 + 25}{2} = 22.5 \) Теперь вычислим \( \bar{x} \): \[ \bar{x} = \frac{(2.5 \cdot 15) + (7.5 \cdot 75) + (12.5 \cdot 100) + (17.5 \cdot 50) + (22.5 \cdot 10)}{250} \] Вычислим числитель: \[ = (37.5) + (562.5) + (1250) + (875) + (225) = 2950 \] Теперь подставим в формулу: \[ \bar{x} = \frac{2950}{250} = 11.8 \] Выборочная дисперсия \( S^2 \) рассчитывается по формуле: \[ S^2 = \frac{\sum ni - \bar{x})^2}{N} \] Сначала найдем \( (x_i - \bar{x})^2 \): - Для \( x_1 = 2.5 \): \( (2.5 - 11.8)^2 = 86.44 \) - Для \( x_2 = 7.5 \): \( (7.5 - 11.8)^2 = 19.36 \) - Для \( x_3 = 12.5 \): \( (12.5 - 11.8)^2 = 0.49 \) - Для \( x_4 = 17.5 \): \( (17.5 - 11.8)^2 = 31.36 \) - Для \( x_5 = 22.5 \): \( (22.5 - 11.8)^2 = 113.76 \) Теперь вычислим \( S^2 \): \[ S^2 = \frac{(15 \cdot 86.44) + (75 \cdot 19.36) + (100 \cdot 0.49) + (50 \cdot 31.36) + (10 \cdot 113.76)}{250} \] Вычислим числитель: \[ = (1296.6) + (1452) + (49) + (1568) + (1137.6) = 4503.2 \] Теперь подставим в формулу: \[ S^2 = \frac{4503.2}{250} = 18.0128 \] Теперь мы можем записать точечные оценки для параметров нормального распределения: - Оценка математического ожидания \( \mu \): \( \hat{\mu} = \bar{x} = 11.8 \) - Оценка дисперсии \( \sigma^2 \): \( \hat{\sigma}^2 = S^2 = 18.0128 \) Таким образом, точечные оценки для неизвестных параметров нормального распределения: \[ \hat{\mu} = 11.8, \quad \hat{\sigma}^2 = 18.0128 \]