Условие:
Завод отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу выбранное изделие окажется высшего сорта равно 0,8. Найти вероятность того, что из трёх взятых изделий: а) все изделия высшего сорта; б)два высшего сорта; в; не менее двух деталей высшего сорта.
Решение:
Для решения задачи будем использовать формулу биномиального распределения, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (в данном случае 3 изделия), два возможных исхода (высший сорт или не высший сорт) и известная вероятность успеха (высший сорт). Обозначим:...
\[ P(X = 3) = C(3, 3) \cdot p^3 \cdot q^{3-3} \] Сначала вычислим биномиальный коэффициент: \[ C(3, 3) = \frac{3!}{3!0!} = 1 \] Теперь подставим значения: \[ P(X = 3) = 1 \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^0 = 1 \cdot 0.512 \cdot 1 = 0.512 \] \[ P(X = 2) = C(3, 2) \cdot p^2 \cdot q^{3-2} \] Вычислим биномиальный коэффициент: \[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!1!} = 3 \] Теперь подставим значения: \[ P(X = 2) = 3 \cdot (0.8)^2 \cdot (0.2)^1 = 3 \cdot 0.64 \cdot 0.2 = 3 \cdot 0.128 = 0.384 \] Это означает, что мы должны найти вероятность того, что либо 2, либо 3 изделия высшего сорта: \[ P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) \] Мы уже нашли \( P(X = 2) = 0.384 \) и \( P(X = 3) = 0.512 \). Теперь подставим: \[ P(X \geq 2) = 0.384 + 0.512 = 0.896 \] а) Вероятность того, что все изделия высшего сорта: б) Вероятность того, что два изделия высшего сорта: в) Вероятность того, что не менее двух изделий высшего сорта: