Сечение: прямоугольник 𝑥 ∈ [ − 𝑎 , 𝑎 ] ,   𝑦 ∈ [ 0 , 𝑏 ] x∈[−a,a], y∈[0,b] Тепло выделяется внутри с постоянной плотностью 𝑄 Q Отвод тепла только через участки на гранях 𝑥 = ± 𝑎 x=±a, при 𝑦 ∈ ( 0 , 𝑐 ) y∈(0,c) Остальная поверхность — теплоизолирована

Для решения задачи о стационарном распределении температуры \( T(x, y) \) в прямоугольном сечении с заданными условиями, мы будем использовать уравнение теплопр...

В стационарном состоянии уравнение теплопроводности в двумерном виде записывается как: \[ \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = -\frac{Q}{k} \] где \( k \) — теплопроводность материала, \( Q \) — плотность тепловыделения. 1. : \( x = -a \) и \( x = a \) — отвод тепла через грани, где \( y \in (0, c) \). 2. : \( y = 0 \) и \( y = b \) — теплоизолированные грани. Это означает, что производная температуры по нормали к границе равна нулю: \[ \frac{\partial T}{\partial y} = 0 \quad \text{при } y = 0 \text{ и } y = b \] Для решения уравнения мы можем использовать метод разделения переменных. Предположим, что решение имеет вид: \[ T(x, y) = X(x)Y(y) \] Подставляя это в уравнение, мы получаем: \[ X(x)Y(y) + X(x)Y(y) = -\frac{Q}{k} \] Разделим переменные: \[ \frac{X(x)}{X(x)} + \frac{Y(y)}{Y(y)} = -\frac{Q}{k} \] Решим уравнение для \( Y(y) \): \[ Y(y) = \lambda Y(y) \] где \( \lambda \) — постоянная. Условия на границах \( Y(0) = 0 \) и \( Y(b) = 0 \) приводят к собственным значениям: \[ \lambda_n = \left(\frac{n\pi}{b}\right)^2 \] Решение будет: \[ Y_n(y) = \sin\left(\frac{n\pi y}{b}\right) \] Решим уравнение для \( X(x) \): \[ X(x) = -\lambda_n X(x) \] Собственные значения \( \lambda_n \) приводят к: \[ Xn \cos\left(\frac{n\pi x}{a}\right) + B_n \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) \] Общее решение будет: \[ T(x, y) = \sumn \cos\left(\frac{n\pi x}{a}\right) + B_n \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) \right) \sin\left(\frac{n\pi y}{b}\right) \] Для определения коэффициентов \( An \) необходимо использовать условия на границах. В частности, на границах \( x = -a \) и \( x = a \) мы должны учитывать отвод тепла. Подставляем условия на границах и решаем систему уравнений для нахождения коэффициентов \( An \). Таким образом, стационарное распределение температуры \( T(x, y) \) будет представлено в виде ряда Фурье, который можно будет вычислить, подставив конкретные значения для \( Q \), \( a \), \( b \) и \( c \), а также используя граничные условия для нахождения коэффициентов.