13．求由下列已知曲线围成的图形绕指定轴旋转而形成的旋转体的体积：（1）( y^{2}=2 p x, y=0, x=a(p>0, a>0) ) ；绕 ( x ) 轴（2）( x y=a^{2}, y=0, x=a, x=2 a(a>0) ) ；绕 ( x ) 轴（3）( y=x^{- rac{1}{4}}, y=0, x= rac{1}{4}, x=1 ) ；绕 ( x ) 轴（4）( y=sin 2 x, y=0,0 leqslant x leqslant rac{pi}{2} ) ；绕 ( x

8 октября 2025
Высшая математика

Условие:

13．求由下列已知曲线围成的图形绕指定轴旋转而形成的旋转体的体积：
（1）\( y^{2}=2 p x, y=0, x=a(p>0, a>0) \) ；绕 \( x \) 轴
（2）\( x y=a^{2}, y=0, x=a, x=2 a(a>0) \) ；绕 \( x \) 轴
（3）\( y=x^{-\frac{1}{4}}, y=0, x=\frac{1}{4}, x=1 \) ；绕 \( x \) 轴
（4）\( y=\sin 2 x, y=0,0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2} \) ；绕 \( x \) 轴
（5）\( y=\frac{1}{x} \ln x, y=0,1 \leqslant x \leqslant \mathrm{e} \) ；绕 \( x \) 轴
（6）\( y=x \mathrm{e}^{x}, y=0, x=1 \) ；绕 \( x \) 轴
（7）\( y=x^{2}, x=y^{2} \) ；绕 \( y \) 轴
（8）\( y=x^{3}, y=0, x=2 \) ；绕 \( x \) 轴和 \( y \) 轴

Решение:

Ниже приводится подробное пошаговое решение задачи по пунктам. Обозначим: – V – объём образованного тела вращения. ────────────────────────────── Задача (1): Даны: y² = 2p·x (при p0), y = 0, x = a (a0). Область, ограниченная этими кривыми, вращается вокруг оси x. 1. Выразим y (неотрицательная ветвь параболы): y = √(2p·x). 2. При вращении вокруг оси x используем метод дисков (washers). Дифференциальный объём: dV = π·[f(x)]² dx, где f(x) = √(2p·x). 3. Подставляем f(x): [f(x)]² = 2p·x, значит V = π∫₀ᵃ (2p·x) dx = 2πp ∫₀ᵃ x dx. 4. Вычисляем интеграл: ∫₀ᵃ x dx = [x²/2]₀ᵃ = a²/2. 5...