1. Определите внешний дифференциал внешней дифференциальной формы и сформулируйте его основные свойства. 2. Сформулируйте и докажите формулу Лейбница дифференцирования внешнего произведения.

Ниже приведено подробное решение задачи. ───────────────────────────── 1. Определение внешнего дифференциала Пусть M – гладкое многообразие, а Ωᵏ(M) – пространство внешних k‑форм на M. Для произвольной k‑формы ω ∈ Ωᵏ(M) её внешний дифференциал dω определяется как (k+1)‑форма, заданная следующей формулой:    dω(X₀, X₁, …, Xₖ) = Σ (i=0)ᵏ (–1)ⁱ Xᵢ (ω(X₀, …, Ẋᵢ, …, Xₖ))           + Σ (0 ≤ j i ≤ k) (–1)^(i+j) ω([Xᵢ, Xⱼ], X₀, …, Ẋᵢ, …, Ẋⱼ, …, Xₖ), где X₀, X₁, …, Xₖ – произвольные векторные поля на M, а значок Ẋᵢ означает, что соответствующий вектор опускается из списка. Эту формулу можно ...