Условие:
| слить определенные интегралы | |||
|---|---|---|---|
| 1 | 5 | \( 7 \int{\frac{2{\sqrt{3}}}^{2} \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}} \)} | |
| \( \int{1}^{2}\left(x^{3}+\frac{1}{x^{2}}\right) d x \) | \( 3 \int{-\frac{\pi}{4}}^{4 \frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{1+\operatorname{tg} x}}{\cos ^{2} x} d x \) | ||
| \( 2 \int{1}^{e} \frac{\ln ^{2} x}{x} d x \) | \( 4 \int{0}^{5} \frac{x}{\sqrt{3 x+1}} d x \) | \( 6 \int{0}^{1} x e^{-x} d x \) |
Решение:
Давайте поочередно решим каждый из указанных интегралов, а затем объединим их результаты.
1. Интеграл \( \int_{1}^{2}\left(x^{3}+\frac{1}{x^{2}}\right) d x \)
Разделим интеграл на два:
\[
\int{1}^{2} x^{3} \, dx + \int{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} \, dx
\]
Теперь вычислим каждый из них.
Первый интеграл:
\[
\int x^{3} \, dx = \frac{x^{4}}{4} + C
\]
Подставляем пределы:
\[
\left[ \frac{x^{4}}{4} \right]_{1}^{2} = \frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}
\]
В... \[ \int \frac{1}{x^{2}} \, dx = -\frac{1}{x} + C \] Подставляем пределы: \[ \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{2} = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \] Теперь складываем результаты: \[ \frac{15}{4} + \frac{1}{2} = \frac{15}{4} + \frac{2}{4} = \frac{17}{4} \] Используем замену \( u = \ln x \), тогда \( du = \frac{1}{x} dx \). Пределы интегрирования изменятся: - Когда \( x = 1 \), \( u = 0 \) - Когда \( x = e \), \( u = 1 \) Теперь интеграл становится: \[ 2 \int_{0}^{1} u^{2} \, du \] Вычисляем: \[ \int u^{2} \, du = \frac{u^{3}}{3} + C \] Подставляем пределы: \[ \left[ \frac{u^{3}}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3} - 0 = \frac{1}{3} \] Теперь умножаем на 2: \[ 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] Используем замену \( u = 3x + 1 \), тогда \( du = 3dx \) или \( dx = \frac{du}{3} \). Пределы интегрирования изменятся: - Когда \( x = 0 \), \( u = 1 \) - Когда \( x = 5 \), \( u = 16 \) Теперь интеграл становится: \[ 4 \int{1}^{16} (u^{1/2} - u^{-1/2}) du \] Вычисляем: \[ \int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2} + C, \quad \int u^{-1/2} \, du = 2u^{1/2} + C \] Теперь подставляем пределы: \[ \frac{4}{9} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} - 2u^{1/2} \right]_{1}^{16} \] Вычисляем: \[ = \frac{4}{9} \left( \left( \frac{2}{3} \cdot 64 - 2 \cdot 4 \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 1 - 2 \cdot 1 \right) \right) \] \[ = \frac{4}{9} \left( \left( \frac{128}{3} - 8 \right) - \left( \frac{2}{3} - 2 \right) \right) \] \[ = \frac{4}{9} \left( \frac{128}{3} - \frac{24}{3} - \frac{2}{3} + \frac{6}{3} \right) = \frac{4}{9} \left( \frac{128 - 24 - 2 + 6}{3} \right) = \frac{4}{9} \cdot \frac{108}{3} = \frac{4 \cdot 36}{9} = 16 \] Используем интегрирование по частям: Пусть \( u = x \) и \( dv = e^{-x} dx \), тогда \( du = dx \) и \( v = -e^{-x} \). Теперь: \[ \int x e^{-x} \, dx = -x e^{-x} - \int -e^{-x} \, dx = -x e^{-x} + e^{-x} \] Подставляем пределы: \[ \left[ -x e^{-x} + e^{-x} \right]_{0}^{1} = \left( -1 \cdot e^{-1} + e^{-1} \right) - \left( 0 + 1 \right) = 0 - 1 = -1 \] Теперь умножаем на 6: \[ 6 \cdot -1 = -6 \] Этот интеграл можно решить с помощью замены \( x = \sec(\theta) \), тогда \( dx = \sec(\theta) \tan(\theta) d\theta \). Пределы интегрирования изменятся: - Когда \( x = \frac{2}{\sqrt{3}} \), \( \theta = \frac{\pi}{6} \) - Когда \( x = 2 \), \( \theta = \frac{\pi}{3} \) Теперь интеграл становится: \[ \int{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} d\theta = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} \] Теперь умножаем на 7: \[ 7 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \] Теперь мы можем объединить все результаты: 1. \( \int_{1}^{2}\left(x^{3}+\frac{1}{x^{2}}\right) d x = \frac{17}{4} \) 2. \( 2 \int_{1}^{e} \frac{\ln ^{2} x}{x} d x = \frac{2}{3} \) 3. \( 4 \int_{0}^{5} \frac{x}{\sqrt{3x+1}} d x = 16 \) 4. \( 6 \int_{0}^{1} x e^{-x} d x = -6 \) 5. \( 7 \int_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^{2} \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}} = \frac{7\pi}{6} \) Теперь суммируем все: \[ \frac{17}{4} + \frac{2}{3} + 16 - 6 + \frac{7\pi}{6} \] Приведем к общему знаменателю (12): \[ \frac{51}{12} + \frac{8}{12} + \frac{192}{12} - \frac{72}{12} + \frac{14\pi}{12} = \frac{51 + 8 + 192 - 72 + 14\pi}{12} = \frac{179 + 14\pi}{12} \] Таким образом, окончательный ответ: \[ \frac{179 + 14\pi}{12} \]