( egin{array}{l} ext { 1. } y^{prime}= rac{6 x^{2}+4 x-1}{3 y^{3}-2 y+2} \ y(2)=-2end{array} )

Для решения данного дифференциального уравнения \( y = \frac{6x^2 + 4x - 1}{3y^3 - 2y + 2} \) с начальным условием...

Перепишем уравнение, чтобы разделить переменные \( y \) и \( x \): \[ (3y^3 - 2y + 2) dy = (6x^2 + 4x - 1) dx \] Теперь интегрируем обе стороны: \[ \int (3y^3 - 2y + 2) dy = \int (6x^2 + 4x - 1) dx \] \[ \int (3y^3 - 2y + 2) dy = \frac{3y^4}{4} - y^2 + 2y + C_1 \] \[ \int (6x^2 + 4x - 1) dx = 2x^3 + 2x^2 - x + C_2 \] Теперь мы можем записать общее решение: \[ \frac{3y^4}{4} - y^2 + 2y = 2x^3 + 2x^2 - x + C \] где \( C = C1 \). Теперь применим начальное условие \( y(2) = -2 \): Подставим \( x = 2 \) и \( y = -2 \) в уравнение: \[ \frac{3(-2)^4}{4} - (-2)^2 + 2(-2) = 2(2)^3 + 2(2)^2 - 2 + C \] Вычислим левую часть: \[ \frac{3 \cdot 16}{4} - 4 - 4 = 12 - 4 - 4 = 4 \] Теперь вычислим правую часть: \[ 2 \cdot 8 + 2 \cdot 4 - 2 + C = 16 + 8 - 2 + C = 22 + C \] Теперь у нас есть уравнение: \[ 4 = 22 + C \] Решим его для \( C \): \[ C = 4 - 22 = -18 \] Теперь подставим значение \( C \) обратно в общее решение: \[ \frac{3y^4}{4} - y^2 + 2y = 2x^3 + 2x^2 - x - 18 \] Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения с начальным условием.