14. Используя «барицентрический» вид многочлена Лагранжа, найти значения функций, заданных таблицами, в указанных точках: 118 1) найти f(20); 2) найти f(102); 3) найти f(5).

Чтобы найти значения функции в указанных точках с использованием барицентрического вида многочлена Лагранжа, мы будем следовать следующим шагам:

1) Найти \( f(20) \)

Данные:
\[

x	14	17	31	35
f(x)	68,7	64,0	44,0	39,1

\]

Используем барицентрический вид многочлена Лагранжа:
\[
P(x) = \sum{i=0}^{n} f(xi) \cdot l_i(x)
\]
где \( l_i(x) \) - базисные функции Лагранжа, определяемые как:
\[
li(x) = \prod{\substack{0 \leq j \leq n \\ j \neq i}} \frac{x - xj}{xi - x_j}
\]

Для \( n = 3 \) (4 точки):

- \( x0 = 14, f(x0) = 68,7 \)
- \( x1 = 17, f(x1) = 64,0 \)
- \( x2 = 31, f(x2) = 44,0 \)
- \( x3 = 35, f(x3) = 39,1 \)

Теперь вычислим \( l_i(20) \):

1. \( l_0(20) \):
\[
l_0(20) = \frac{(20 - 17)(20 - 31)(20 - 35)}{(14 - 17)(14 - 31)(14 - 35)} = \frac{(3)(-11)(-15)}{(-3)(-17)(-21)} = \frac{495}{1071} \approx 0,462
\]

2. \( l_1(20) \):
\[
l_1(20) = \frac{(20 - 14)(20 - 31)(20 - 35)}{(17 - 14)(17 - 31)(17 - 35)} = \frac{(6)(-11)(-15)}{(3)(-14)(-18)} = \frac{990}{756} \approx 1,308
\]

3. \( l_2(20) \):
\[
l_2(20) = \frac{(20 - 14)(20 - 17)(20 - 35)}{(31 - 14)(31 - 17)(31 - 35)} = \frac{(6)(3)(-15)}{(17)(14)(-4)} = \frac{-270}{-952} \approx 0,283
\]

4. \( l_3(20) \):
\[
l_3(20) = \frac{(20 - 14)(20 - 17)(20 - 31)}{(35 - 14)(35 - 17)(35 - 31)} = \frac{(6)(3)(-11)}{(21)(18)(4)} = \frac{-198}{1512} \approx -0,131
\]

Теперь подставим в формулу:
\[
f(20) = 68,7 \cdot l0(20) + 64,0 \cdot l1(20) + 44,0 \cdot l2(20) + ...3(20) \] \[ f(20) \approx 68,7 \cdot 0,462 + 64,0 \cdot 1,308 + 44,0 \cdot 0,283 + 39,1 \cdot (-0,131) \] \[ f(20) \approx 31,8 + 83,7 + 12,5 - 5,1 \approx 122,9 \] Данные: \[

x	93,0	96,2	100,0	104,2	108,7
f(x)	11,38	12,80	14,70	17,07	19,91

\] Аналогично вычисляем \( l_i(102) \): 1. \( l_0(102) \): \[ l_0(102) = \frac{(102 - 96,2)(102 - 100)(102 - 104,2)(102 - 108,7)}{(93 - 96,2)(93 - 100)(93 - 104,2)(93 - 108,7)} \] (вычисляем значения) 2. \( l_1(102) \): (вычисляем значения) 3. \( l_2(102) \): (вычисляем значения) 4. \( l_3(102) \): (вычисляем значения) Теперь подставляем в формулу: \[ f(102) = 11,38 \cdot l1(102) + 14,70 \cdot l3(102) + 19,91 \cdot l_4(102) \] Данные: \[

x	0	2	3	6	7	9
f(x)	658503	704969	729000	804357	830584	884736

\] Аналогично вычисляем \( l_i(5) \): 1. \( l_0(5) \): (вычисляем значения) 2. \( l_1(5) \): (вычисляем значения) 3. \( l_2(5) \): (вычисляем значения) 4. \( l_3(5) \): (вычисляем значения) 5. \( l_4(5) \): (вычисляем значения) 6. \( l_5(5) \): (вычисляем значения) Теперь подставляем в формулу: \[ f(5) = 658503 \cdot l1(5) + 729000 \cdot l3(5) + 830584 \cdot l5(5) \] Таким образом, мы можем найти значения функции в указанных точках, используя барицентрический вид многочлена Лагранжа. Для каждого случая необходимо провести аналогичные вычисления для нахождения \( l_i(x) \) и подставить в формулу.