2.: Проведите полное исследование следующих функций и постройте их графики: 4 x 2   x  1) 2 y ; 8 4 2 х  9 y  2) ; 2  x

Давайте проведем полное исследование указанных функций и построим их графики.

1) Функция: \( y = 2x^2 - 4x + 1 \)

Шаг 1: Определение области определения

Функция является полиномиальной, поэтому область определения — все действительные числа:
\[ D = (-\infty; +\infty) \]

Шаг 2: Нахождение производной

Найдем первую производную функции, чтобы определить критические точки:
\[ y = \frac{d}{dx}(2x^2 - 4x + 1) = 4x - 4 \]

Шаг 3: Нахо...

Приравняем производную к нулю: \[ 4x - 4 = 0 \] \[ 4x = 4 \] \[ x = 1 \] Найдем вторую производную: \[ y = \frac{d^2}{dx^2}(2x^2 - 4x + 1) = 4 \] Так как \( y 0 \), точка \( x = 1 \) является минимумом. Подставим \( x = 1 \) в исходную функцию: \[ y(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 \] Минимум функции находится в точке \( (1, -1) \). Так как функция является параболой, стремящейся к бесконечности при \( x \to \pm\infty \), то: \[ \lim_{x \to -\infty} y = +\infty \] \[ \lim_{x \to +\infty} y = +\infty \] График функции — это парабола, открытая вверх, с минимумом в точке \( (1, -1) \). Область определения функции — все действительные числа, так как знаменатель \( x^2 + 4 \) никогда не равен нулю: \[ D = (-\infty; +\infty) \] Найдем первую производную функции с использованием правила частного: \[ y = \frac{(4x)(x^2 + 4) - (2x^2 - 9)(2x)}{(x^2 + 4)^2} \] Упростим числитель: \[ = \frac{4x(x^2 + 4) - 2x(2x^2 - 9)}{(x^2 + 4)^2} \] \[ = \frac{4x^3 + 16x - 4x^3 + 18x}{(x^2 + 4)^2} \] \[ = \frac{34x}{(x^2 + 4)^2} \] Приравняем производную к нулю: \[ 34x = 0 \] \[ x = 0 \] Вторая производная будет сложной для нахождения, но мы можем оценить поведение функции. Подставим \( x = 0 \): \[ y(0) = \frac{2(0)^2 - 9}{(0)^2 + 4} = \frac{-9}{4} = -\frac{9}{4} \] Проверим поведение функции при \( x \to \pm\infty \): \[ \lim{x \to \pm\infty} \frac{2x^2}{x^2} = 2 \] Это горизонтальная асимптота \( y = 2 \). График функции имеет горизонтальную асимптоту \( y = 2 \) и проходит через точку \( (0, -\frac{9}{4}) \). 1. График первой функции — парабола с минимумом в точке \( (1, -1) \). 2. График второй функции — рациональная функция с горизонтальной асимптотой \( y = 2 \) и проходящая через точку \( (0, -\frac{9}{4}) \). Теперь вы можете построить графики этих функций на координатной плоскости.