2. Вычислить предел функции [ lim _{x ightarrow 0} rac{rcsin 3 x-operatorname{arctg} 3 x}{ln left(1+x^{3} ight)} ]

Чтобы вычислить предел \[ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin 3 x - \operatorname{arctg} 3 x}{\ln(1+x^{3})}, \...

Для малых \(x\) можно использовать разложения в ряд Тейлора для функций \(\arcsin\) и \(\operatorname{arctg}\). 1. : \[ \arcsin(3x) = 3x + \frac{(3x)^3}{6} + O(x^5) = 3x + \frac{27x^3}{6} + O(x^5) = 3x + \frac{9x^3}{2} + O(x^5). \] 2. : \[ \operatorname{arctg}(3x) = 3x - \frac{(3x)^3}{3} + O(x^5) = 3x - \frac{27x^3}{3} + O(x^5) = 3x - 9x^3 + O(x^5). \] Теперь подставим эти разложения в числитель: \[ \arcsin(3x) - \operatorname{arctg}(3x) = \left(3x + \frac{9x^3}{2} + O(x^5)\right) - \left(3x - 9x^3 + O(x^5)\right). \] Упрощая, получаем: \[ \arcsin(3x) - \operatorname{arctg}(3x) = \frac{9x^3}{2} + 9x^3 + O(x^5) = \frac{9x^3}{2} + \frac{18x^3}{2} + O(x^5) = \frac{27x^3}{2} + O(x^5). \] Теперь рассмотрим знаменатель \(\ln(1+x^3)\): \[ \ln(1+x^3) = x^3 - \frac{x^6}{2} + O(x^9). \] Теперь подставим результаты в предел: \[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{27x^3}{2} + O(x^5)}{x^3 - \frac{x^6}{2} + O(x^9)}. \] При \(x \to 0\) \(O(x^5)\) и \(O(x^9)\) становятся незначительными, и мы можем упростить предел: \[ \lim{x \rightarrow 0} \frac{27}{2} = \frac{27}{2}. \] Таким образом, предел равен: \[ \frac{27}{2}. \]