21. Найти аналитическое выражение для заданной функции матричного аргумента. 21.1. A=≤ft[egin{array}{cc} 1 & 2 \ -2 & -3 end{array} ight], Sin(A), Cos(A)

Для нахождения аналитических выражений для \(\sin(A)\) и \(\cos(A)\), где \(A\) — матрица, мы ...

Для матрицы \(A\) мы можем записать: \[ \sin(A) = A - \frac{A^3}{3!} + \frac{A^5}{5!} - \frac{A^7}{7!} + \ldots \] \[ \cos(A) = I + \frac{A^2}{2!} - \frac{A^4}{4!} + \frac{A^6}{6!} - \ldots \] где \(I\) — единичная матрица. Сначала найдем \(A^2\): \[ A^2 = A \cdot A = \left[\begin{array}{cc} 1 2 \\ -2 -3 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc} 1 2 \\ -2 -3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) \\ -2 \cdot 1 + (-3) \cdot (-2) -2 \cdot 2 + (-3) \cdot (-3) \end{array}\right] \] \[ = \left[\begin{array}{cc} 1 - 4 2 - 6 \\ -2 + 6 -4 + 9 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -3 -4 \\ 4 5 \end{array}\right] \] Теперь найдем \(A^3\): \[ A^3 = A \cdot A^2 = \left[\begin{array}{cc} 1 2 \\ -2 -3 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc} -3 -4 \\ 4 5 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 4 1 \cdot (-4) + 2 \cdot 5 \\ -2 \cdot (-3) + (-3) \cdot 4 -2 \cdot (-4) + (-3) \cdot 5 \end{array}\right] \] \[ = \left[\begin{array}{cc} -3 + 8 -4 + 10 \\ 6 - 12 8 - 15 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 5 6 \\ -6 -7 \end{array}\right] \] Теперь найдем \(A^4\): \[ A^4 = A \cdot A^3 = \left[\begin{array}{cc} 1 2 \\ -2 -3 \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc} 5 6 \\ -6 -7 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 \cdot 5 + 2 \cdot (-6) 1 \cdot 6 + 2 \cdot (-7) \\ -2 \cdot 5 + (-3) \cdot (-6) -2 \cdot 6 + (-3) \cdot (-7) \end{array}\right] \] \[ = \left[\begin{array}{cc} 5 - 12 6 - 14 \\ -10 + 18 -12 + 21 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -7 -8 \\ 8 9 \end{array}\right] \] Теперь мы можем подставить найденные степени матрицы в ряды Тейлора. \[ \cos(A) = I + \frac{A^2}{2!} - \frac{A^4}{4!} + \ldots \] Подставим \(I\) и \(A^2\): \[ \cos(A) = \left[\begin{array}{cc} 1 0 \\ 0 1 \end{array}\right] + \frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc} -3 -4 \\ 4 5 \end{array}\right] - \frac{1}{24}\left[\begin{array}{cc} -7 -8 \\ 8 9 \end{array}\right] + \ldots \] \[ \sin(A) = A - \frac{A^3}{3!} + \frac{A^5}{5!} - \ldots \] Подставим \(A\) и \(A^3\): \[ \sin(A) = \left[\begin{array}{cc} 1 2 \\ -2 -3 \end{array}\right] - \frac{1}{6}\left[\begin{array}{cc} 5 6 \\ -6 -7 \end{array}\right] + \ldots \] Для окончательных выражений нам нужно будет продолжить вычисления, но в общем виде: \[ \sin(A) \approx \left[\begin{array}{cc} 1 - \frac{5}{6} 2 - 1 \\ -2 + 1 -3 + \frac{7}{6} \end{array}\right] + \ldots \] \[ \cos(A) \approx \left[\begin{array}{cc} 1 - \frac{3}{2} + \frac{7}{24} 0 - \frac{4}{2} + \frac{8}{24} \\ 0 + \frac{4}{2} - \frac{8}{24} 1 + \frac{5}{2} - \frac{9}{24} \end{array}\right] + \ldots \] Таким образом, мы можем получить аналитические выражения для \(\sin(A)\) и \(\cos(A)\) с учетом всех членов ряда. Однако для точного результата потребуется больше вычислений, чтобы учесть больше членов ряда.