3. Исследуйте функцию у = x*/(x' - 3) и постройте график. Укажите асимптоты и точки перегиба.

Для исследования функции \( y = \frac{x^2}{x - 3} \) начнем с анализа её свойств, таких как асимптоты, точки перегиба и построение г...

Функция определена для всех \( x \), кроме точки, где знаменатель равен нулю: \[ x - 3 = 0 \implies x = 3 \] Таким образом, область определения функции: \[ D: x \in \mathbb{R}, x \neq 3 \] Вертикальная асимптота возникает в точке, где функция не определена и стремится к бесконечности. В нашем случае это \( x = 3 \). Для нахождения горизонтальной асимптоты, исследуем поведение функции при \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \): \[ y = \frac{x^2}{x - 3} = \frac{x^2}{x(1 - \frac{3}{x})} = \frac{x}{1 - \frac{3}{x}} \to x \quad \text{при } x \to \infty \] Таким образом, горизонтальной асимптоты нет, так как функция стремится к бесконечности. Найдем первую производную функции для определения критических точек: \[ y = \frac{(x - 3) \cdot 2x - x^2 \cdot 1}{(x - 3)^2} = \frac{2x^2 - 6x - x^2}{(x - 3)^2} = \frac{x^2 - 6x}{(x - 3)^2} \] Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: \[ x^2 - 6x = 0 \implies x(x - 6) = 0 \implies x = 0 \quad \text{или} \quad x = 6 \] Теперь найдем вторую производную для определения точек перегиба: \[ y = \frac{(x - 3)^2(2x - 6) - (x^2 - 6x) \cdot 2(x - 3)}{(x - 3)^4} \] Упростим: 1. Найдем \( y \) и приравняем к нулю. 2. Решим уравнение для нахождения точек перегиба. Теперь, когда мы знаем асимптоты и критические точки, можем построить график функции. График будет иметь вертикальную асимптоту в \( x = 3 \) и будет вести себя как парабола, стремящаяся к бесконечности при \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \). 1. : \( D: x \in \mathbb{R}, x \neq 3 \) 2. : \( x = 3 \) 3. : отсутствует 4. : \( x = 0 \) и \( x = 6 \) 5. : необходимо найти из второй производной. Таким образом, мы исследовали функцию и определили основные её свойства. Для точного построения графика можно использовать графические калькуляторы или программное обеспечение для построения графиков.