3. Найти Z-образы сигналов. {x k}=(-1,2,3),{y k}=(-5,-3,-1), и их свертки {f k}={x k} *{y k}

Чтобы найти Z-образы сигналов \(\{xk\}\) и \(\...k\}\), а также их свертку \(\{fk\} * \{y_k\}\), будем следовать следующим шагам.

Z-образ сигнала \(\{x_k\}\) определяется как: \[ X(z) = \sumk z^{-k} \] Для нашего сигнала \(\{x0 = -1\), \(x2 = 3\), мы можем записать Z-образ следующим образом: \[ X(z) = -1 \cdot z^0 + 2 \cdot z^{-1} + 3 \cdot z^{-2} = -1 + \frac{2}{z} + \frac{3}{z^2} \] Теперь найдем Z-образ сигнала \(\{y_k\}\): \(\{y0 = -5\), \(y2 = -1\): \[ Y(z) = -5 \cdot z^0 + (-3) \cdot z^{-1} + (-1) \cdot z^{-2} = -5 - \frac{3}{z} - \frac{1}{z^2} \] Свертка двух дискретных сигналов \(\{xk\}\) определяется как: \[ f{n=-\infty}^{\infty} x{k-n} \] Для наших сигналов \(\{xk\}\) мы можем вычислить свертку для \(k = 0, 1, 2, 3, 4\). 1. : \[ f0 y_0 = (-1)(-5) = 5 \] 2. : \[ f0 y1 y_0 = (-1)(-3) + (2)(-5) = 3 - 10 = -7 \] 3. : \[ f0 y1 y2 y_0 = (-1)(-1) + (2)(-3) + (3)(-5) = 1 - 6 - 15 = -20 \] 4. : \[ f1 y2 y_1 = (2)(-1) + (3)(-3) = -2 - 9 = -11 \] 5. : \[ f2 y_2 = (3)(-1) = -3 \] Теперь мы можем записать свертку: \[ \{f_k\} = (5, -7, -20, -11, -3) \] Таким образом, Z-образы сигналов: \[ X(z) = -1 + \frac{2}{z} + \frac{3}{z^2} \] \[ Y(z) = -5 - \frac{3}{z} - \frac{1}{z^2} \] Свертка сигналов: \[ \{f_k\} = (5, -7, -20, -11, -3) \]