Условие:
3. Поточечная сходимость ряда Фурье
Сформулируйте условие Дини на функцию в точке. Сформулируйте и докажите достаточные условия поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье.
Решение:
Ниже приводится подробное решение задачи.
─────────────────────────────
- Формулировка условия Дини в точке
Пусть f – 2π-периодическая функция, определённая на отрезке [–π, π]. Будем говорить, что функция f удовлетворяет условию Дини в точке x₀, если существует δ 0, такое что интеграл
I = ∫₀ᵟ |[f(x₀ + t) + f(x₀ – t) – 2f(x₀)]/t| dt
конечен, то есть
∫₀ᵟ |(f(x₀+t) + f(x₀–t) – 2f(x₀))/t| dt ∞.
Это условие гарантирует, что «осцилляция» функции f в малых окрестностях точки x₀ не слишком резкая – по сути, оно является мерой гладкости f в точке x₀ (или, что равносильно, достаточно силь...