Условие:
5. Методом Лагранжа приведите квадратичную форму
F≤ft(x{1}, x{2}, x{3}\right)=2 x{1}2+120 x{2} x{3}+24 x{2}2+8 x{1} x{2}+151 x{3}2+20 x{1} x{3}
к каноническому виду и укажите пример соответствующего преобразования координат.
Решение:
Найдём канонический вид данной квадратичной формы методом Лагранжа. Исходная форма:
F(x₁, x₂, x₃) = 2x₁² + 8x₁x₂ + 20x₁x₃ + 24x₂² + 120x₂x₃ + 151x₃².
Для удобства обозначим переменные как x, y, z (где x = x₁, y = x₂, z = x₃). Тогда форма выглядит так:
F = 2x² + 8xy + 20xz + 24y² + 120yz + 151z².
Шаг 1. Выделим полный квадрат по x.
Сгруппируем слагаемые, содержащие x:
2x² + 8xy + 20xz = 2·[x² + (4y + 10z)x].
Чтобы выделить полный квадрат по x, запишем выражение в скобках в виде:
x² + (4y + 10z)x = (x + ½(4y+10z))² – (½(4y+10z))² = (x + 2y + 5z)² – (2y + 5z)².
Подста...