5. Найдите отношения ρ−1,ρρ,ρ−1ρ−1 для бинарного отношения xρy⇔2x=3y, определенного на множестве Z целых чисел.

Для решения задачи сначала определим бинарное отношение \( \rho \) на множестве целых чисел \( Z \). Дано отношение: \[ x \rho y \i...

Обратное отношение \( \rho^{-1} \) определяется как: \[ y \rho^{-1} x \iff x \rho y. \] То есть, мы должны поменять местами \( x \) и \( y \) в исходном определении: \[ y \rho^{-1} x \iff 2y = 3x. \] Теперь выразим \( x \) через \( y \): \[ 3x = 2y \implies x = \frac{2}{3}y. \] Таким образом, обратное отношение \( \rho^{-1} \) можно записать как: \[ x \rho^{-1} y \iff x = \frac{2}{3}y. \] Произведение отношений \( \rho \circ \rho \) определяется как: \[ x \rho \circ \rho z \iff \exists y (x \rho y \land y \rho z). \] Сначала найдем \( y \) из \( x \rho y \): \[ 2x = 3y \implies y = \frac{2}{3}x. \] Теперь подставим \( y \) в \( y \rho z \): \[ 2y = 3z \implies 2\left(\frac{2}{3}x\right) = 3z \implies \frac{4}{3}x = 3z \implies z = \frac{4}{9}x. \] Таким образом, произведение \( \rho \circ \rho \) можно записать как: \[ x \rho \circ \rho z \iff z = \frac{4}{9}x. \] Аналогично, произведение \( \rho^{-1} \circ \rho^{-1} \) определяется как: \[ x \rho^{-1} \circ \rho^{-1} z \iff \exists y (x \rho^{-1} y \land y \rho^{-1} z). \] Сначала найдем \( y \) из \( x \rho^{-1} y \): \[ x \rho^{-1} y \iff y = \frac{3}{2}x. \] Теперь подставим \( y \) в \( y \rho^{-1} z \): \[ y \rho^{-1} z \iff z = \frac{3}{2}y = \frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}x\right) = \frac{9}{4}x. \] Таким образом, произведение \( \rho^{-1} \circ \rho^{-1} \) можно записать как: \[ x \rho^{-1} \circ \rho^{-1} z \iff z = \frac{9}{4}x. \] Теперь мы имеем: 1. Обратное отношение \( \rho^{-1} \): \( x \rho^{-1} y \iff x = \frac{2}{3}y \). 2. Произведение \( \rho \circ \rho \): \( x \rho \circ \rho z \iff z = \frac{4}{9}x \). 3. Произведение \( \rho^{-1} \circ \rho^{-1} \): \( x \rho^{-1} \circ \rho^{-1} z \iff z = \frac{9}{4}x \).