5. Вычислить интеграл [ int_{gamma} rac{z}{left(z+sqrt{z^{2}-1} ight)left(z^{2}-9 ight)} d z, quad gamma={z:|z|=2} ] где интегрирование ведется в положительном направлении относительно нуля, а ветвь корня на ( gamma ) выделяется исходя из условия (

18 ноября 2025
Высшая математика

Условие:

5. Вычислить интеграл
\[
\int_{\gamma} \frac{z}{\left(z+\sqrt{z^{2}-1}\right)\left(z^{2}-9\right)} d z, \quad \gamma=\{z:|z|=2\}
\]

где интегрирование ведется в положительном направлении относительно нуля, а ветвь корня на \( \gamma \) выделяется исходя из условия \( \left.\sqrt{z^{2}-1}\right|_{z=2}=\sqrt{3} \).

Решение:

Мы хотим вычислить следующий интеграл по контуру γ: I = ∫₍γ₎ (z / [(z + √(z² – 1)) (z² – 9)]) dz, где γ – окружность |z| = 2 (проходящая против часовой стрелки), а ветвь функции √(z² – 1) выбрана так, чтобы при z = 2 значение было √3. Наша цель – получить значение интеграла. Ниже подробно объясняется рассуждение. ────────────────────────────── 1. Анализ особенностей функции В знаменателе у нас два множителя: A(z) = z + √(z² – 1) и B(z) = z² – 9. Полюса, связанные с B(z), получаются из уравнения z² – 9 = 0, то есть z = 3 и z = –3. При этом |3| = 3, |–3| = 3, а наш контур γ имеет радиус...