Через середины двух параллельных рёбер куба, не лежащих в одной грани, проведена прямая, и куб повёрнут на ${90}° $ вокруг неё. Найдите объём общей части исходного куба и повёрнутого, если ребро куба имеет длину .

Для решения задачи начнем с анализа ситуации. 1. Определение куба: Пусть куб имеет длину ребра \( a \). Объем куба равен \( V = a^3 \). 2. Параллельные рёбра: Рассмотрим два параллельных рёбра куба, например, рёбра, которые находятся на верхней и нижней гранях куба. Пусть это будут рёбра, которые находятся на высоте \( 0 \) и \( a \) по оси \( z \). 3. Проведение прямой: Мы проведем прямую через середины этих рёбер. Середина нижнего ребра находится в точке \( (0, \frac{a}{2}, 0) \), а середина верхнего ребра — в точке \( (0, \frac{a}{2}, a) \). Прямая, проходящая через эти две точки, будет ...