![Дан линейный оператор ( hat{A} ), действующий на пространстве многочленов, степени не выше второй. Найти матрицу ( A_{f} ) линейного оператора ( hat{A} ) в базисе [ f{1}=12 x^{2}-17 x+2, quad f{2}=-15 x^{2}+3 x-14, quad f_{3}=7-5 x-13 x^{2} ] где (](/public/images/library/external/library-detail-hero-book.png)
Условие:
Дан линейный оператор \( \hat{A} \), действующий на пространстве многочленов, степени не выше второй. Найти матрицу \( A_{f} \) линейного оператора \( \hat{A} \) в базисе
\[
f{1}=12 x^{2}-17 x+2, \quad f{2}=-15 x^{2}+3 x-14, \quad f_{3}=7-5 x-13 x^{2}
\]
где \( \hat{A}(p(x))=(x-2) \cdot p^{\prime}(x)+6 p(x-2) \).
В ответе указать \( \operatorname{det}\left(\frac{1}{2} \cdot A_{f}\right) \).
Если ответ не выражается конечной десятичной дробью, округлите его до двух знаков после запятой. Целые числа и конечные десятичные дроби оставляйте без округления. В случае нецелого ответа дробную часть отделяйте от целой части запятой.
Ответ: \( \square \)
Решение:
Чтобы найти матрицу линейного оператора \( \hat{A} \) в заданном базисе, нам нужно выполнить несколько шагов. 1. Определение оператора: Мы имеем оператор \( \hat{A}(p(x)) = (x-2) \cdot p(x) + 6 p(x-2) \), где \( p(x) \) — это многочлен степени не выше второй. 2. Вычисление \( \hat{A}(f1) \), \( \hat{A}(f2) \), \( \hat{A}(f_3) \): - Для \( f_1 = 12x^2 - 17x + 2 \): \[ f_1 = 24x - 17 \] \[ \hat{A}(f1) = (x-2)(24x - 17) + 6f1(x-2) \] Сначала вычислим \( (x-2)(24x - 17) \): \[ (x-2)(24x - 17) = 24x^2 - 17x - 48x + 34 = 24x^2 - 65x + 34 \] ...