Дан тетраздр , построенный на векторах , . Найти: объем тетраздра; площадь грани ABC; высоту , проведенную из вершины .

Добавлена: 27.04.2026
Обновлена: 27.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Дан тетраздр , построенный на векторах , . Найти: объем тетраздра; площадь грани ABC; высоту , проведенную из вершины .

Условие:

Дан тетраздр $A B C D$ , построенный на векторах $\overrightarrow{A B}(1 ; 2 ;-1), \overrightarrow{A D}(0 ; 0 ; 5)$ , $\overrightarrow{A C}(2 ; 1 ; 0)$ . Найти: объем тетраздра; площадь грани ABC; высоту $h$ , проведенную из вершины $D$ .

Решение:

а) Для нахождения объема тетраздра можно использовать формулу: \nV = (1/6) * |(AB × AC) · AD|

где $AB$ , $AC$ и $AD$ — это векторы, исходящие из одной точки $A$ .

Находим векторы:
- $\overrightarrow{AB} = (1, 2, -1)$
- $\overrightarrow{AC} = (2, 1, 0)$
- $\overrightarrow{AD} = (0, 0, 5)$
Находим векторное произведение $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ :
- $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} =

\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}

= $\mathbf{i} (2*0 - (-1)*1) - \mathbf{j} (1*0 - (-1)*2) + \mathbf{k} (1*1 - 2*2)$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какая формула используется для вычисления объема тетраэдра, построенного на векторах $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AD}$, исходящих из одной вершины A?

$V = \frac{1}{3} |(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD}|

$V = \frac{1}{6} |(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD}|

$V = |\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD})|$