Дана функция двух переменных : Найти частные производные .

Добавлена: 04.05.2026
Обновлена: 04.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Дана функция двух переменных : Найти частные производные .

Условие:

Дана функция двух переменных $U=U(x, y)$ :

U(x,y)=(5)\cdot\sin\left(x^4+y^1\right)+\operatorname{tg}\left(x^4+y^1\right)+(5)\cdot\ln\left(x^4+y^1\right).

Найти частные производные $U_{x}^{\prime} ; U_{y}^{\prime} ; U_{x x}^{\prime \prime} ; U_{y y}^{\prime \prime}$ .

Решение:

1. Дано

Дана функция двух переменных:

\nU(x,y) = 5\sin\left(x^4+y\right) + \operatorname{tg}\left(x^4+y\right) + 5\ln\left(x^4+y\right)

(Я поправил обозначение

y^1

на

y

для удобства, так как

y^1 = y

Пусть $z = x^4 + y$ . Тогда функцию можно записать как:

\nU(x,y) = 5\sin(z) + \operatorname{tg}(z) + 5\ln(z)

2. Найти

Необходимо найти частные производные первого порядка ( $U'_x$ , $U'_y$ ) и второго порядка ( $U''_{xx}$ , $U''_{yy}$ ).

3. Решение

Для нахождения частных производных будем использовать правило дифференцирования сложной функции: $\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{dU}{dz} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод дифференцирования сложной функции двух переменных $ U=U(x, y) $, где $ U $ зависит от $ x $ и $ y $ через промежуточную переменную $ z = g(x, y) $, используется для нахождения частных производных $ U_x' $ и $ U_y' $?

Правило произведения: $(fg)' = f'g + fg'$

Правило цепи: $\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{dU}{dz} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial U}{\partial y} = \frac{dU}{dz} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}$