Дана функция двух переменных и точка Д. ) найти градиент функции в точке Д; б) составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке Д; в) исследовать функцию на экстремум.

Дано: Функция двух переменных:

Найти:\na) Градиент функции $\nabla \varphi$ в точке $Д$. б) Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z = \varphi(x, y)$ в точке $Д$. в) Экстремумы функции $\varphi(x, y)$.

Решение

а) Нахождение градиента функции в точке Д

Градиент функции $\varphi(x, y)$, обозначаемый $\nabla \varphi$, — это вектор, компонентами которого являются частные производные первого порядка: