Дана функция . Найдите ее первообразную. Выберите из списка тип элементарной функции, которая является её первообразной: ; arcsin; "длинный"; не выражается через элементарные функции; ; "высокий", аргумент вида . В ответе укажите номер подходящего типа

Для нахождения первообразной функции $f(x) = \frac{11}{36 x^{2}+48 x+25}$ начнем с упрощения знаменателя.

1. Приведем квадратный трехчлен в знаменателе к канонической форме. Для этого найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 48^2 - 4 \cdot 36 \cdot 25 = 2304 - 3600 = -1296$. Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней, и мы можем выразить его в виде полного квадрата: $36x^2 + 48x + 25 = 36\left(x^2 + \frac{48}{36}x + \frac{25}{36}\right) = 36\left(x^2 + \frac{4}{3}x + \left(\frac{2}{3}\right)^2\right) = 36\left(x + \frac{2}{3}\right)^2 + 36\left(\frac{25}{36} - \frac{4}{9}\right) = 36\left(x + \frac{2}{3}\right)^2 + 36\left(\frac{25 - 16}{36}\right) = 36\left(x + \frac{2}{3}\right)^2 + 10$...