Дана функция иточка . Найти: a) -- дифференциал функции в точке ; б) -- второй дифференциал функции в точке . в) Записать многочлен Тейлора второго порядка для функции по степеням .

Добавлена: 11.04.2026
Обновлена: 11.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Дана функция иточка . Найти: a) -- дифференциал функции в точке ; б) -- второй дифференциал функции в точке . в) Записать многочлен Тейлора второго порядка для функции по степеням .

Условие:

Дана функция $z=x^{2} y+y^{2} x-3 x y+2 x-1$ иточка $M_{0}(2,-1)$ .

Найти: a) $d z\left(M_{0}\right)$ -- дифференциал функции в точке $M_{0}$ ; б) $d^{2} z\left(M_{0}\right)$ -- второй дифференциал функции в точке $M_{0}$ . в) Записать многочлен Тейлора второго порядка для функции $z=f(x, y)$ по степеням $\left(x-x_{0}\right),\left(y-y_{0}\right) \quad[x=2, y=-1]$ .

Решение:

1. Дано

Функция:

z(x, y) = x^2 y + y^2 x - 3xy + 2x - 1

Точка:

M_0(x_0, y_0) = (2, -1)

2. Найти

\na) Дифференциал первого порядка функции в точке $M_0$ : $dz(M_0)$ . б) Дифференциал второго порядка функции в точке $M_0$ : $d^2z(M_0)$ . в) Многочлен Тейлора второго порядка функции $z(x, y)$ в окрестности точки $M_0$ по степеням $(x-x_0)$ и $(y-y_0)$ .

3. Решение

Для решения задачи нам потребуется найти частные производные первого и второго порядка функции $z(x, y)$ и вычислить их значения в точке $M_0(2, -1)$ .