Дана система линейных уравнений: Убедившись,что система совместна, найти ее общее решение и два частных решения. Найти фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы уравнений и указать связь между множествами решений исходной системы

Добавлена: 06.05.2026
Обновлена: 06.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Дана система линейных уравнений: Убедившись,что система совместна, найти ее общее решение и два частных решения. Найти фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы уравнений и указать связь между множествами решений исходной системы

Условие:

Дана система линейных уравнений: $\left{

\begin{array}{c}3 x_{1}+5 x_{2}+15 x_{3}+16 x_{4}=23 \ 2 x_{1}-7 x_{2}+7 x_{3}+6 x_{4}=2 \ x_{1}+4 x_{2}+5 x_{3}+3 x_{4}=10\end{array}

Убедившись,что система совместна, найти ее общее решение и два частных решения. Найти фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы уравнений и указать связь между множествами решений исходной системы и соответствующей однородной системы.

Решение:

Запишем данную систему уравнений:

(1) 3x₁ + 5x₂ + 15x₃ + 16x₄ = 23
(2) 2x₁ – 7x₂ + 7x₃ + 6x₄ = 2
(3) x₁ + 4x₂ + 5x₃ + 3x₄ = 10

Мы имеем 3 уравнения с 4 неизвестными, поэтому система «недоопределена». Если система совместна, общее решение можно записать в виде:
x = xₚ + t · h,
где xₚ – один частный (фиксированный) вектор-решение, h – базис (фундаментальное решение) однородной системы, а t ∈ ℝ – параметр.

──────────────────────────────
Выразим одну из переменных через остальные. Удобно начать с уравнени...