Чтобы найти производную функции \( u \) в направлении вектора \( \mathbf{a} = (2, -1, 3) \) в точке \( (1, -1, 2) \), нам нужно выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Найти частные...
Функция задана как:
\[
u = 3x^3 - 2y^2 + 7z^3 - x^2y^2 + 5xy - 2yz + 3x - 8z
\]
Теперь найдем частные производные \( u \) по переменным \( x \), \( y \) и \( z \).
1. :
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^3) - \frac{\partial}{\partial x}(x^2y^2) + \frac{\partial}{\partial x}(5xy) + \frac{\partial}{\partial x}(3x)
\]
\[
= 9x^2 - 2xy^2 + 5y + 3
\]
2. :
\[
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-2y^2) + \frac{\partial}{\partial y}(-x^2y^2) + \frac{\partial}{\partial y}(5xy) - \frac{\partial}{\partial y}(2yz)
\]
\[
= -4y - 2x^2y + 5x - 2z
\]
3. :
\[
\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(7z^3) - \frac{\partial}{\partial z}(2yz) - \frac{\partial}{\partial z}(8z)
\]
\[
= 21z^2 - 2y - 8
\]
Теперь подставим \( x = 1 \), \( y = -1 \), \( z = 2 \) в найденные частные производные.
1. :
\[
\frac{\partial u}{\partial x}(1, -1, 2) = 9(1)^2 - 2(1)(-1)^2 + 5(-1) + 3 = 9 - 2 - 5 + 3 = 5
\]
2. :
\[
\frac{\partial u}{\partial y}(1, -1, 2) = -4(-1) - 2(1)^2(-1) + 5(1) - 2(2) = 4 + 2 + 5 - 4 = 7
\]
3. :
\[
\frac{\partial u}{\partial z}(1, -1, 2) = 21(2)^2 - 2(-1) - 8 = 84 + 2 - 8 = 78
\]
Градиент функции \( u \) в точке \( (1, -1, 2) \) будет равен:
\[
\nabla u(1, -1, 2) = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) = (5, 7, 78)
\]
Производная функции \( u \) в направлении вектора \( \mathbf{a} \) вычисляется как скалярное произведение градиента и вектора \( \mathbf{a} \):
\[
D_{\mathbf{a}} u = \nabla u \cdot \mathbf{a} = (5, 7, 78) \cdot (2, -1, 3)
\]
\[
= 5 \cdot 2 + 7 \cdot (-1) + 78 \cdot 3 = 10 - 7 + 234 = 237
\]
Таким образом, производная функции \( u \) в направлении вектора \( \mathbf{a} \) в точке \( (1, -1, 2) \) равна \( 237 \).
