Дано уравнение линии   f() в полярной системе координат. Определить точки, лежащие на линии, в промежутке 0   2 . Шаг взять равным /8. Построить линию. Записать уравнение линии в декартовой системе координат.   sin 22

Чтобы решить задачу, следуем шагам:

Шаг 1: Определение точек в по...

Дано уравнение линии в полярной системе координат: \[ \rho = \sin(2\varphi) + 2 \] Необходимо найти точки, лежащие на линии, в промежутке \(0 \leq \varphi \leq 2\pi\) с шагом \(\frac{\pi}{8}\). Мы будем подставлять значения \(\varphi\) от \(0\) до \(2\pi\) с шагом \(\frac{\pi}{8}\): 1. \(\varphi = 0\): \[ \rho = \sin(0) + 2 = 0 + 2 = 2 \] 2. \(\varphi = \frac{\pi}{8}\): \[ \rho = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) + 2 = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + 2 = \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \approx 2.707 \] 3. \(\varphi = \frac{\pi}{4}\): \[ \rho = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + 2 = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2 = 1 + 2 = 3 \] 4. \(\varphi = \frac{3\pi}{8}\): \[ \rho = \sin\left(2 \cdot \frac{3\pi}{8}\right) + 2 = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) + 2 = \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \approx 2.707 \] 5. \(\varphi = \frac{\pi}{2}\): \[ \rho = \sin(\pi) + 2 = 0 + 2 = 2 \] 6. \(\varphi = \frac{5\pi}{8}\): \[ \rho = \sin\left(2 \cdot \frac{5\pi}{8}\right) + 2 = \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) + 2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \approx 1.293 \] 7. \(\varphi = \frac{3\pi}{4}\): \[ \rho = \sin\left(2 \cdot \frac{3\pi}{4}\right) + 2 = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 2 = -1 + 2 = 1 \] 8. \(\varphi = \frac{7\pi}{8}\): \[ \rho = \sin\left(2 \cdot \frac{7\pi}{8}\right) + 2 = \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) + 2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \approx 1.293 \] 9. \(\varphi = \pi\): \[ \rho = \sin(2\pi) + 2 = 0 + 2 = 2 \] 10. \(\varphi = \frac{9\pi}{8}\): \[ \rho = \sin\left(2 \cdot \frac{9\pi}{8}\right) + 2 = \sin\left(\frac{9\pi}{4}\right) + 2 = \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \approx 2.707 \] 11. \(\varphi = \frac{5\pi}{4}\): \[ \rho = \sin\left(2 \cdot \frac{5\pi}{4}\right) + 2 = \sin\left{\frac{5\pi}{2}\right} + 2 = 1 + 2 = 3 \] 12. \(\varphi = \frac{11\pi}{8}\): \[ \rho = \sin\left(2 \cdot \frac{11\pi}{8}\right) + 2 = \sin\left(\frac{11\pi}{4}\right) + 2 = \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \approx 2.707 \] 13. \(\varphi = \frac{3\pi}{2}\): \[ \rho = \sin(3\pi) + 2 = 0 + 2 = 2 \] 14. \(\varphi = \frac{13\pi}{8}\): \[ \rho = \sin\left(2 \cdot \frac{13\pi}{8}\right) + 2 = \sin\left(\frac{13\pi}{4}\right) + 2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \approx 1.293 \] 15. \(\varphi = \frac{7\pi}{4}\): \[ \rho = \sin\left(2 \cdot \frac{7\pi}{4}\right) + 2 = \sin\left(\frac{7\pi}{2}\right) + 2 = -1 + 2 = 1 \] 16. \(\varphi = \frac{15\pi}{8}\): \[ \rho = \sin\left(2 \cdot \frac{15\pi}{8}\right) + 2 = \sin\left(\frac{15\pi}{4}\right) + 2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \approx 1.293 \] 17. \(\varphi = 2\pi\): \[ \rho = \sin(4\pi) + 2 = 0 + 2 = 2 \] Теперь у нас есть значения \(\rho\) для каждого значения \(\varphi\): - \((2, 0)\) - \((2.707, \frac{\pi}{8})\) - \((3, \frac{\pi}{4})\) - \((2.707, \frac{3\pi}{8})\) - \((2, \frac{\pi}{2})\) - \((1.293, \frac{5\pi}{8})\) - \((1, \frac{3\pi}{4})\) - \((1.293, \frac{7\pi}{8})\) - \((2, \pi)\) - \((2.707, \frac{9\pi}{8})\) - \((3, \frac{5\pi}{4})\) - \((2.707, \frac{11\pi}{8})\) - \((2, \frac{3\pi}{2})\) - \((1.293, \frac{13\pi}{8})\) - \((1, \frac{7\pi}{4})\) - \((1.293, \frac{15\pi}{8})\) - \((2, 2\pi)\) Для построения линии, можно использовать графический редактор или программное обеспечение для построения графиков, подставляя значения \(\rho\) и \(\varphi\). Чтобы записать уравнение линии в декартовой системе координат, используем преобразования: \[ x = \rho \cdot \cos(\varphi) \] \[ y = \rho \cdot \sin(\varphi) \] Подставим \(\rho = \sin(2\varphi) + 2\): \[ x = (\sin(2\varphi) + 2) \cdot \cos(\varphi) \] \[ y = (\sin(2\varphi) + 2) \cdot \sin(\varphi) \] Таким образом, уравнение линии в декартовой системе координат будет: \[ x = (\sin(2\varphi) + 2) \cdot \cos(\varphi), \quad y = (\sin(2\varphi) + 2) \cdot \sin(\varphi) \] Мы нашли точки, лежащие на линии, построили линию и записали уравнение в декартовой системе координат.