12.10. ( z=u^{v} ), где ( u=sin x, v=cos x ). Найти ( rac{d z}{d x} ).

Для нахождения производной $\frac{dz}{dx}$ функции $z = u^v$, где $u = \sin x$ и $v = \cos x$, будем использовать правило дифференцирования сложной функции и логарифмическое дифференцирование.

1. Запишем функцию:

   $$z = (\sin x)^{\cos x}$$

2. Применим логарифмическое дифференцирование: Возьмем натуральный логарифм от обеих сторон:

   $$\ln z = \cos x \cdot \ln(\sin x)$$

3. Теперь найдем производную обеих сторон по $x$: Сначала найдем производную левой части:

   $$\frac{d}{dx}(\ln z) = \frac{1}{z} \frac{dz}{dx}$$

   Теперь найдем производн...