Даны действительные числа . Найти первый член последовательности, заданной следующими соотношениями: , для которого выполняется условие \( a{n}-a{n-1}

Добавлена: 12.04.2026
Обновлена: 12.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Численные методы

$Даны действительные числа . Найти первый член последовательности, заданной следующими соотношениями: , для которого выполняется условие \( a{n}-a{n-1}$

Условие:

Даны действительные числа $x, \varepsilon(\varepsilon>0)$ . Найти первый член $a_{n}$ последовательности, заданной следующими соотношениями: $a_{n}=3+\frac{1}{n^{2}}\left(a_{n-1}-4 x\right), a_{1}=x, n=2,3, \ldots$ , для которого выполняется условие $\left|a_{n}-a_{n-1}\right|<\varepsilon$ .

Решение:

Здравствуйте! Я помогу вам разобраться с этой задачей. Нам необходимо вычислить члены последовательности один за другим, пока не будет достигнута заданная точность.

1. Дано

Действительное число $x$ (начальное значение).
Действительное число $\varepsilon > 0$ (точность остановки).
Рекуррентное соотношение для последовательности:
$a_1 = x$

$a_n = 3 + \frac{1}{n^2}(a_{n-1} - 4x), \quad n = 2, 3, \dots$

2. Найти

Первый член последовательности $a_n$ , для которого выполняется условие:

|a_n - a_{n-1}| < \varepsilon

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой подход используется для нахождения первого члена последовательности, удовлетворяющего заданному условию, если каждый последующий член зависит только от предыдущего и номера шага?

Рекурсивный подход с мемоизацией для хранения всех вычисленных значений.

Итерационный подход, при котором вычисляются только текущий и предыдущий члены последовательности.

Прямое аналитическое вычисление n-го члена последовательности без итераций.