Даны дискретные данные в трёхмерном пространстве {(Хi, yi, Zi) }71. Известно, что входные дискретные данные могут быть аппроксимированы некоторым эллипсоидом. Требуется записать формулировку оптимизационной задачи для МНК для идентификации такого

Для решения задачи идентификации эллипсоида, который аппроксимирует заданные дискретные данные в трёхмерном пространстве, мы можем использовать метод наименьших к...

Эллипсоид в канонической форме может быть описан уравнением: \[ \frac{(X - X0)^2}{b^2} + \frac{(Z - Z_0)^2}{c^2} = 1 \] где: - \( (X0, Z_0) \) — координаты центра эллипсоида, - \( a, b, c \) — полуоси эллипсоида. Пусть у нас есть набор данных \( \{(Xi, Z{i=1}^{71} \). Мы можем переписать уравнение эллипсоида в виде: \[ f(Xi, Z0, Y0) = \frac{(X0)^2}{a^2} + \frac{(Y0)^2}{b^2} + \frac{(Z0)^2}{c^2} - 1 \] Для применения метода наименьших квадратов, мы определим функцию потерь, которая будет минимизироваться. Функция потерь будет равна сумме квадратов отклонений: \[ L(a, b, c, X0, Z{i=1}^{71} f(Xi, Z0, Y0)^2 \] Теперь мы можем записать оптимизационную задачу: \[ \min0, Y0} L(a, b, c, X0, Z_0) \] при условии, что \( a, b, c 0 \) (поскольку полуоси должны быть положительными). Для решения этой задачи можно использовать численные методы оптимизации, такие как градиентный спуск или методы второго порядка (например, метод Ньютона). Также можно использовать специализированные библиотеки для оптимизации, такие как SciPy в Python. Таким образом, мы сформулировали задачу оптимизации для идентификации эллипсоида, который аппроксимирует заданные дискретные данные. Основная цель — минимизировать функцию потерь, которая измеряет отклонение между данными и моделью эллипсоида.