Даны два линейных преобразования: Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через .

Добавлена: 12.05.2026
Обновлена: 12.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Даны два линейных преобразования: Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через .

Условие:

Даны два линейных преобразования: $ \left{

\begin{array} { l } { x _ { 1 } ^ { \prime } = 3 x _ { 1 } - x _ { 2 } + 5 x _ { 3 } , } \\ { x _ { 2 } ^ { \prime } = x _ { 1 } + 2 x _ { 2 } + 4 x _ { 3 } , } \\ { x _ { 3 } ^ { \prime } = 3 x _ { 1 } + 2 x _ { 2 } + x _ { 3 } ; } \end{array}

\begin{array}{l}\nx_{1}^{\prime \prime}=4 x_{1}^{\prime}+3 x_{2}^{\prime}+x_{3}^{\prime}, \\ x_{2}^{\prime \prime}=3 x_{1}^{\prime}+x_{2}^{\prime}+2 x_{3}^{\prime} \\ x_{3}^{\prime \prime}=x_{1}^{\prime}+2 x_{2}^{\prime}+x_{3}^{\prime} \end{array}

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее $\mathrm{x}_{1}^{\prime\prime}, \mathrm{x}^{\prime\prime}{ }_{2}, \mathrm{x}_{3}^{\prime\prime}$ через $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \mathrm{x}_{3}$ .

Решение:

Для решения задачи начнем с записи линейных преобразований в матричной форме.

Первое преобразование можно записать в виде матрицы:

\begin{pmatrix}\nx_1' \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\nx_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}

Обозначим матрицу первого преобразования как $A$ :

A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}

Второе преобразование также можно записать в виде матрицы:

\begin{pmatrix}\nx_1'' \\ x_2'' \\ x_3'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\nx_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix}

Обозначим матрицу второго преобразования как $B$ :

B = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое матричное действие необходимо выполнить, чтобы найти итоговое преобразование, выражающее $x'', x'', x''$ через $x_1, x_2, x_3$, если даны матрицы $A$ и $B$ для первого и второго преобразований соответственно?

Умножить матрицу $A$ на матрицу $B$ ( $AB$ ).