Даны две матрицы и . Найти: а) ; б) ; в) ; г) ; д) . .

Добавлена: 10.04.2026
Обновлена: 10.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Даны две матрицы и . Найти: а) ; б) ; в) ; г) ; д) . .

Условие:

Даны две матрицы $A$ и $B$ . Найти: а) $A B$ ; б) $B A$ ; в) $A^{-1}$ ; г) $A A^{-1}$ ; д) $A^{-1} A$ . $A=\left[

\begin{array}{rrr}-2 & 3 & 4 \ 3 & -1 & -4 \ -1 & 2 & 2\end{array}

\begin{array}{lll}3 & 3 & 1 \ 0 & 6 & 2 \ 1 & 9 & 2\end{array}

Решение:

Дано

Даны две матрицы: $\nA=

\begin{pmatrix} -2 & 3 & 4 \\ 3 & -1 & -4 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 3 & 3 & 1 \\ 0 & 6 & 2 \\ 1 & 9 & 2 \end{pmatrix}

Найти

а) Произведение $AB$ б) Произведение $BA$ в) Обратная матрица $A^{-1}$ г) Произведение $AA^{-1}$ д) Произведение $A^{-1}A$

Решение

а) Нахождение произведения $AB$

Для нахождения произведения $AB$ , мы умножаем строки матрицы $A$ на столбцы матрицы $B$ .

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство матричного умножения иллюстрируют результаты произведений $AB$ и $BA$ для данных матриц $A$ и $B$?

Матричное умножение ассоциативно, то есть $(AB)C = A(BC)$ .

Матричное умножение некоммутативно, то есть $AB \neq BA$ в общем случае.

Матричное умножение дистрибутивно относительно сложения, то есть $A(B+C) = AB + AC$ .

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Произведение двух матриц $A$ и $B$ (обозначаемое $AB$ ) определено, если количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$ . Элемент $C_{ij}$ результирующей матрицы $C = AB$ вычисляется как сумма произведений элементов $i$ -й строки $A$ на соответствующие элементы $j$ -го столбца $B$ .
Обратная матрица $A^{-1}$ для квадратной матрицы $A$ существует тогда и только тогда, когда определитель матрицы $A$ (обозначаемый $\det(A)$ ) не равен нулю. Если $\det(A) = 0$ , матрица называется вырожденной (сингулярной) и обратной матрицы не имеет.
Обратная матрица $A^{-1}$ вычисляется по формуле $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$ , где $\text{adj}(A)$ — присоединенная матрица (или союзная матрица), которая является транспонированной матрицей из алгебраических дополнений (кофакторов) элементов матрицы $A$ .
Алгебраическое дополнение (кофактор) $C_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы $A$ равно $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ , где $M_{ij}$ — минор элемента $a_{ij}$ , то есть определитель матрицы, полученной вычеркиванием $i$ -й строки и $j$ -го столбца исходной матрицы.
Произведение матрицы на её обратную матрицу (как $AA^{-1}$ , так и $A^{-1}A$ ) всегда равно единичной матрице $I$ того же порядка, что и исходная матрица. Единичная матрица имеет единицы на главной диагонали и нули во всех остальных позициях.