1. Главная
  2. Библиотека
  3. Высшая математика
  4. Даны две системы векторов Найти ранги данных систем и в...
Разбор задачи

Даны две системы векторов Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует базис. Найти координаты вектора в этом базисе используя формулы Крамера.

  • Предмет: Высшая математика
  • Автор: Кэмп
  • #Математический анализ
  • #Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Даны две системы векторов Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует базис. Найти координаты вектора в этом базисе используя формулы Крамера.

Условие:

Даны две системы векторов$

aˉ1(1,0,−1),aˉ2(2,1,3),aˉ3(4,5,−3);bˉ1(1,−1,8),bˉ2(1,0,−3),bˉ3(3,−1,2).\begin{array}{lll} \bar{a}_{1}(1,0,-1), & \bar{a}_{2}(2,1,3), & \bar{a}_{3}(4,5,-3) ; \\ \bar{b}_{1}(1,-1,8), & \bar{b}_{2}(1,0,-3), & \bar{b}_{3}(3,-1,2) . \end{array}

$

Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует базис. Найти координаты вектора cˉ(7,5,−6)\bar{c}(7,5,-6) в этом базисе используя формулы Крамера.

Решение:

Шаг 1. Найдём ранг системы векторов (\bar{a}_1, \bar{a}_2, \bar{a}_3)

Составим матрицу из координат векторов (\bar{a}_i):

A=(124015−13−3) A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \\ -1 & 3 & -3 \end{pmatrix}

Приведём матрицу к ступенчатому виду.

  1. Прибавим первую строку к третьей: $
(124015051)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix}
2.Изтретьейстрокивычтемвторуюстроку,умноженнуюна5: 2. Из третьей строки вычтем вторую строку, умноженную на 5:
(12401500−24)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & -24 \end{pmatrix}
Все три строки ненулевые, значит ранг равен 3. **Шаг 2. Найдём ранг системы векторов \(\bar{b}_1, \bar{b}_2, \(\bar{b}_3\)** Матрица:

B =

(113−10−18−32)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & -1 \\ 8 & -3 & 2 \end{pmatrix}
1.Прибавимпервуюстрокуковторой: 1. Прибавим первую строку ко второй:
(1130128−32)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 8 & -3 & 2 \end{pmatrix}
2.Изтретьейстрокивычтемпервую,умноженнуюна8: 2. Из третьей строки вычтем первую, умноженную на 8:
(1130120−11−22)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -11 & -22 \end{pmatrix}
3.Ктретьейстрокеприбавимвторую,умноженнуюна11: 3. К третьей строке прибавим вторую, умноженную на 11:
(113012000)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

$

Получили нулевую строку, значит ранг равен 2.

Шаг 3. Определим, какая система образует базис

Система векторов образует базис в (\mathbb{R}^3)...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое условие должно выполняться для системы из трёх векторов в трёхмерном пространстве, чтобы она образовывала базис?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я