Даны подпространства и линейного пространства , порожденные данными системами векторов и : Найти размерности и базисы подпространств и .

Добавлена: 06.05.2026
Обновлена: 06.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Даны подпространства и линейного пространства , порожденные данными системами векторов и : Найти размерности и базисы подпространств и .

Условие:

Даны подпространства $U$ и $W$ линейного пространства $\mathbb{R}^{4}$ , порожденные данными системами векторов $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ и $b_{1}, b_{2}$ : $

\begin{array}{l}\na_{1}=(1,-2,-2,1), a_{2}=(1,3,3,1), a_{3}=(1,1,-2,2) ; \\ b_{1}=(2,-2,-2,-1), b_{2}=(1,2,-1,1) . \end{array}

Найти размерности и базисы подпространств $U+W$ и $U \cap W$ .

Решение:

Нам даны два подпространства в ℝ⁴

U = span{ a₁, a₂, a₃ }, где
a₁ = (1, –2, –2, 1),
a₂ = (1, 3, 3, 1),
a₃ = (1, 1, –2, 2),

W = span{ b₁, b₂ }, где
b₁ = (2, –2, –2, –1),
b₂ = (1, 2, –1, 1).

Наша задача – найти размерности и базисы подпространств U + W и U ∩ W. Рассмотрим это пошагово.

─────────────────────────────

Определим размерности U и W

1.1. Подпространство U
Проверим линейную независимость векторов a₁, a₂, a₃.
Ищем такие коэффициенты c₁...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство линейных подпространств используется для нахождения размерности суммы подпространств $U+W$?

Размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей: $\dim(U+W) = \dim U + \dim W$ .

Размерность суммы подпространств равна размерности пространства, в котором они находятся: $\dim(U+W) = \dim \mathbb{R}^n$ .

Размерность суммы подпространств связана с размерностями самих подпространств и их пересечения формулой: $\dim(U+W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)$ .