Даны точки А (2; – 2), В (–1; 2), С (4; 2). Сделать чертеж и найти: длину отрезка АВ; уравнение прямой, проходящей через точки А и В; уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно прямой АВ; уравнение прямой, проходящей через вершину С

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Найти длину отрезка AB

Длина отрезка AB может быть найдена с помощью формулы расстояния между двумя точками:

$
d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}
$

Подставим координаты точек A (2, -2) и B (-1, 2):

$
d = \sqrt{((-1) - 2)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
$

Ответ: Длина отрезка AB равна 5.

Шаг 2: Найти уравнение прямой, проходящей ...

Сначала найдем угловой коэффициент (k) прямой, проходящей через точки A и B:

$$k = \frac{y1}{x1} = \frac{2 - (-2)}{-1 - 2} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}$$

Теперь используем уравнение прямой в форме (y - y1)). Подставим координаты точки A (2, -2):

$$y - (-2) = -\frac{4}{3}(x - 2)$$

Упростим уравнение:

$$y + 2 = -\frac{4}{3}x + \frac{8}{3}$$

$$y = -\frac{4}{3}x + \frac{8}{3} - 2$$

$$y = -\frac{4}{3}x + \frac{8}{3} - \frac{6}{3}$$

$$y = -\frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$$

Уравнение прямой AB: (y = -\frac{4}{3}x + \frac{2}{3}).

Прямая, параллельная прямой AB, будет иметь тот же угловой коэффициент. Используем координаты точки C (4, 2):

$$y - 2 = -\frac{4}{3}(x - 4)$$

Упростим уравнение:

$$y - 2 = -\frac{4}{3}x + \frac{16}{3}$$

$$y = -\frac{4}{3}x + \frac{16}{3} + 2$$

$$y = -\frac{4}{3}x + \frac{16}{3} + \frac{6}{3}$$

$$y = -\frac{4}{3}x + \frac{22}{3}$$

Уравнение прямой, проходящей через C параллельно AB: (y = -\frac{4}{3}x + \frac{22}{3}).

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет равен обратному значению и с противоположным знаком:

$$k_{\perp} = \frac{3}{4}$$

Используем координаты точки C (4, 2):

$$y - 2 = \frac{3}{4}(x - 4)$$

Упростим уравнение:

$$y - 2 = \frac{3}{4}x - 3$$

$$y = \frac{3}{4}x - 3 + 2$$

$$y = \frac{3}{4}x - 1$$

Уравнение прямой, проходящей через C перпендикулярно AB: (y = \frac{3}{4}x - 1).

Расстояние от точки до прямой можно найти по формуле:

$$d = \frac{|Ax0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Для уравнения прямой (Ax + By + C = 0) преобразуем уравнение (y = -\frac{4}{3}x + \frac{2}{3}) в стандартную форму:

$$\frac{4}{3}x + y - \frac{2}{3} = 0 \implies 4x + 3y - 2 = 0$$

Здесь (A = 4), (B = 3), (C = -2), а точка C (4, 2):

$$d = \frac{|4 \cdot 4 + 3 \cdot 2 - 2|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|16 + 6 - 2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|20|}{5} = 4$$

Расстояние от точки C до прямой AB равно 4.

1. Длина отрезка AB: 5
2. Уравнение прямой AB: (y = -\frac{4}{3}x + \frac{2}{3})
3. Уравнение прямой через C параллельно AB: (y = -\frac{4}{3}x + \frac{22}{3})
4. Уравнение прямой через C перпендикулярно AB: (y = \frac{3}{4}x - 1)
5. Расстояние от точки C до прямой AB: 4