Условие:
| 6 | (10 ; 20) | (35 ; 45) | (30 ; 25) | (40 ; 50) |
|---|---|---|---|---|
| 7 | (20 ; 25) | (40 ; 45) | (25 ; 20) | |
| 8 | (25 ; 20) | (45 ; 50) | (45 ; 50) | |
| 9 | (15 ; 25) | (40 ; 50) | (50 ; 45) | (20 ; 25) |
| 10 | (30 ; 25) | (45 ; 50) | (10 ; 20) | (45 ; 45) |
| 11 | (25 ; 30) | (40 ; 55) | (40 ; 45) | (20 ; 15) |
| 12 | (20 ; 30) | (45 ; 55) | (15 ; 20) | (45 ; 40) |
| 13 | (35 ; 30) | (50 ; 55) | (20 ; 40) | (15 ; 10) |
| 14 | (30 ; 35) | (55 ; 60) | (10 ; 15) | (35 ; 40) |
| 15 | (25 ; 35) | (50 ; 60) | (40 ; 35) | (10 ; 10) |
1) Построить в плоской системе прямоугольных координат векторы AB и CD с соблюдением масштаба.
2) По ф. 1.1 вычислить координаты векторов AB и CD .
3) По ф. 1.2 вычислить длины (модули) векторов AB и CD.
4) Для векторов AB и CD построить сумму, вычислить координаты (ф. 1.3) и длину суммарного вектора.
5) Для векторов AB и CD построить разность и вычислить координаты (ф. 1.4) и длину разностного вектора.
6) Вычислить угол между векторами AB и CD (см. рисунок 1.4 б).
Решение:
Для решения данной задачи, давайте поэтапно выполним все пункты.
Шаг 1: Построение векторов AB и C...
Предположим, что векторы AB и CD определяются следующими координатами: - Вектор AB: \( A(10, 20) \) и \( B(35, 45) \) - Вектор CD: \( C(30, 25) \) и \( D(40, 50) \) Теперь мы можем построить векторы на координатной плоскости. Вектор AB будет направлен от точки A к точке B, а вектор CD от точки C к точке D. Координаты векторов можно найти следующим образом: - Вектор AB: \[ \vec{AB} = B - A = (35 - 10, 45 - 20) = (25, 25) \] - Вектор CD: \[ \vec{CD} = D - C = (40 - 30, 50 - 25) = (10, 25) \] Длину вектора можно вычислить по формуле: \[ |\vec{V}| = \sqrt{x^2 + y^2} \] - Длина вектора AB: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{25^2 + 25^2} = \sqrt{625 + 625} = \sqrt{1250} \approx 35.36 \] - Длина вектора CD: \[ |\vec{CD}| = \sqrt{10^2 + 25^2} = \sqrt{100 + 625} = \sqrt{725} \approx 26.93 \] Сумма векторов вычисляется по формуле: \[ \vec{S} = \vec{AB} + \vec{CD} \] Координаты суммы: \[ \vec{S} = (25 + 10, 25 + 25) = (35, 50) \] Длина суммарного вектора: \[ |\vec{S}| = \sqrt{35^2 + 50^2} = \sqrt{1225 + 2500} = \sqrt{3725} \approx 61.00 \] Разность векторов вычисляется по формуле: \[ \vec{R} = \vec{AB} - \vec{CD} \] Координаты разности: \[ \vec{R} = (25 - 10, 25 - 25) = (15, 0) \] Длина разностного вектора: \[ |\vec{R}| = \sqrt{15^2 + 0^2} = \sqrt{225} = 15 \] Угол между векторами можно вычислить по формуле: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|} \] Сначала найдем скалярное произведение: \[ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = 25 \cdot 10 + 25 \cdot 25 = 250 + 625 = 875 \] Теперь подставим в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{875}{35.36 \cdot 26.93} \approx \frac{875}{952.67} \approx 0.919 \] Теперь найдем угол: \[ \theta = \arccos(0.919) \approx 23.1^\circ \] 1. Векторы AB и CD построены. 2. Координаты векторов: \( \vec{AB} = (25, 25) \), \( \vec{CD} = (10, 25) \). 3. Длины векторов: \( |\vec{AB}| \approx 35.36 \), \( |\vec{CD}| \approx 26.93 \). 4. Сумма векторов: \( \vec{S} = (35, 50) \), длина \( |\vec{S}| \approx 61.00 \). 5. Разность векторов: \( \vec{R} = (15, 0) \), длина \( |\vec{R}| = 15 \). 6. Угол между векторами \( \theta \approx 23.1^\circ \).