Даны вершины пирамиды A(3,5,4); B(8,7,4); C(5,10,4); D(4,7,8). Найти: а) угол между векторами СA и CB; б) площадь грани ABC; в) проекцию вектора СA на вектор CD; г) объем пирамиды; д) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D.

Для решения задачи, давайте поэтапно разберем каждый из пунктов.

Дано:

- Вершины пирамиды:
- A(3, 5, 4)
- B(8, 7, 4)
- C(5, 10, 4)
- D(4, 7, 8)

а) Угол между векторами CA и CB

1. Найдем векторы CA и CB:
- Вектор CA = A - C = (3 - 5, 5 - 10, 4 - 4) = (-2, -5, 0)
- Вектор CB = B - C = (8 - 5, 7 - 10, 4 - 4) = (3, -3, 0)

2. Найдем длины векторов:
- ||CA|| = √((-2)² + (-5)² + 0²) = √(4 + 25) = √29
- ||CB|| = √(3² + (-3)² + 0²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2

3. Найдем скалярное произведение векторов:
- CA · CB = (-2) 3 + (-5) (-3) + 0 * 0 = -6 + 15 + 0 = 9

4. Найдем угол между век... - cos(θ) = (CA · CB) / (||CA|| * ||CB||) - cos(θ) = 9 / (√29 * 3√2) = 9 / (3√58) = 3 / √58 - θ = arccos(3 / √58) 1. - Вектор AB = B - A = (8 - 3, 7 - 5, 4 - 4) = (5, 2, 0) - Вектор AC = C - A = (5 - 3, 10 - 5, 4 - 4) = (2, 5, 0) 2. - AB × AC = |i j k| |5 2 0| |2 5 0| - = (25)i - (52)j + (52)k - = 0i - 0j + (25 - 4)k = 21k 3. - Площадь = 0.5 ||21k|| = 0.5 * 21 = 10.5 1. - Вектор CD = D - C = (4 - 5, 7 - 10, 8 - 4) = (-1, -3, 4) 2. - Проекция = (CA · CD) / ||CD||² * CD - CA · CD = (-2)(-1) + (-5)(-3) + (0)(4) = 2 + 15 + 0 = 17 - ||CD||² = (-1)² + (-3)² + 4² = 1 + 9 + 16 = 26 - Проекция = (17 / 26) (-1, -3, 4) 1. 2. - Уравнение плоскости ABC: Ax + By + Cz + D = 0 - Подставим координаты A, B, C для нахождения A, B, C, D. - Плоскость ABC: z = 4 (так как все точки имеют z = 4) - Высота = |zD - 4| = |8 - 4| = 4 3. **Объем = (1/3) высота = (1/3) 4 = 14Как уже нашли, высота = 4.** а) Угол между векторами CA и CB: θ = arccos(3 / √58) б) Площадь грани ABC = 10.5 в) Проекция вектора CA на вектор CD = (17/26) * (-1, -3, 4) г) Объем пирамиды = 14 д) Длина высоты пирамиды, опущенной из вершины D = 4