Даны вершины пирамиды A(x1, y1, z1) , B(x2, y2, z2 ) , C(x3, y3, z3) , D(x4, y4, z4 ) . Найти: а) угол между гранями ABC и ABD; б) каноническое и параметрические уравнения прямой CD; в) уравнение плоскости параллельной плоскости ABС, проходящей через

Для решения задачи, давайте поэтапно разберем каждый пункт.

Данные:

- A(4, 2, 5)
- B(0, 7, 1)
- C(0, 2, 7)
- D(1, 5, 0)

а) Угол между гранями ABC и ABD

1. Найдем векторы AB и AC:
$
\vec{AB} = B - A = (0 - 4, 7 - 2, 1 - 5) = (-4, 5, -4)
$
$
\vec{AC} = C - A = (0 - 4, 2 - 2, 7 - 5) = (-4, 0, 2)
$

2. Найдем вектор нормали к плоскости ABC:
$
\vec{n_{ABC}} = \vec{AB} \times \vec{AC}
$
Используем формулу для векторного произведения:
$
\vec{n_{ABC}} = \begin{vmatrix}
\hat{i} \hat{j} \hat{k} \\
-4 5 -4 \\
-4 0 2
\end{vmatrix}
$
$
= \hat{i}(5 \cdot 2 - (-4) \cdot 0) - \hat{j}(-4 \cdot 2 - (-4) \cdot -4) + \hat{k}(-4 \cdot 0 - (-4) \cdot 5)
$
$
= \hat{i}(10) - \hat{j}(-8 - 16) + \hat{k}(20)
$
$
= (10, 24, 20)
$

3. Найдем векторы A... $ \vec{AD} = D - A = (1 - 4, 5 - 2, 0 - 5) = (-3, 3, -5) $

4. $$\vec{n_{ABD}} = \vec{AB} \times \vec{AD}$$
   $$\vec{n_{ABD}} = \begin{vmatrix} \hat{i} \hat{j} \hat{k} \\ -4 5 -4 \\ -3 3 -5 \end{vmatrix}$$
   $$= \hat{i}(5 \cdot -5 - (-4) \cdot 3) - \hat{j}(-4 \cdot -5 - (-4) \cdot -3) + \hat{k}(-4 \cdot 3 - 5 \cdot -3)$$
   $$= \hat{i}(-25 + 12) - \hat{j}(20 - 12) + \hat{k}(-12 + 15)$$
   $$= (-13, -8, 3)$$
5. $$\cos \theta = \frac{\vec{n{ABD}}}{|\vec{n{ABD}}|}$$
   $$\vec{n{ABD}} = 10 \cdot (-13) + 24 \cdot (-8) + 20 \cdot 3 = -130 - 192 + 60 = -262$$
   $$|\vec{n_{ABC}}| = \sqrt{10^2 + 24^2 + 20^2} = \sqrt{100 + 576 + 400} = \sqrt{1076}$$
   $$|\vec{n_{ABD}}| = \sqrt{(-13)^2 + (-8)^2 + 3^2} = \sqrt{169 + 64 + 9} = \sqrt{242}$$
   $$\cos \theta = \frac{-262}{\sqrt{1076} \cdot \sqrt{242}}$$

   Угол (\theta) можно найти через арккосинус.

6. $$\vec{CD} = D - C = (1 - 0, 5 - 2, 0 - 7) = (1, 3, -7)$$
7. $$\frac{x - 0}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 7}{-7}$$
8. $$x = t, \quad y = 2 + 3t, \quad z = 7 - 7t$$

9. Плоскость имеет вид (Ax + By + Cz + D = 0), где (A, B, C) - компоненты нормали (\vec{n_{ABC}}).

   $$10(x - 1) + 24(y - 5) + 20(z - 0) = 0$$
   $$10x + 24y + 20z - 10 - 120 = 0$$
   $$10x + 24y + 20z - 130 = 0$$

10. Высота будет перпендикулярна плоскости ABC, поэтому её направление будет совпадать с нормалью (\vec{n_{ABC}}).

    $$\frac{x - 1}{10} = \frac{y - 5}{24} = \frac{z - 0}{20}$$

а) Угол между гранями ABC и ABD можно найти через арккосинус.
б) Каноническое уравнение прямой CD: (\frac{x - 0}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 7}{-7}).
в) Уравнение плоскости: (10x + 24y + 20z - 130 = 0).
г) Каноническое уравнение высоты: (\frac{x - 1}{10} = \frac{y - 5}{24} = \frac{z - 0}{20}).