. Даны вершины треугольника . Найти: 1) длину стороны ; 2) уравнение стороны ; 3) уравнение высоты ; 4) уравнение медианы ; 5) точку пересечения медианы с высотой ; 6) уравнение прямой, проходящей через вершину параллельную стороне ; 7) расстояние от

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1) Длина стороны AB

Для нахождения длины стороны AB, используем формулу расстояния между двумя точками:
$
d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}
$
где $A(1, -2)$ и $B(7, 1)$.

Подставим координаты:
$
d_{AB} = \sqrt{(7 - 1)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{(6)^2 + (3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}
$

2) Уравнение стороны AB

Уравнение прямой можно найти по формуле:
$
y - y1 = m(x - x1)
$
где $m$ — угловой коэффициент, который вычисляется как:
$
m = \frac{y2 - y1}{x2 - x1} = \frac{1 - (-2)}{7 - 1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
$
Теперь подставим в уравнение:
$
y - (-2) = \frac{1}{2}(x - 1)
$
Упрощаем:
$
y + 2 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}
$
$
y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}
$

3) Уравнен...

Высота из точки C перпендикулярна стороне AB. Угловой коэффициент высоты будет равен отрицательному обратному угловому коэффициенту стороны AB:

$$m_{h} = -\frac{1}{m} = -2$$

Теперь используем точку C(3, 7):

$$y - 7 = -2(x - 3)$$

Упрощаем:

$$y - 7 = -2x + 6$$

$$y = -2x + 13$$

Медиана соединяет вершину A с серединой стороны BC. Сначала найдем середину отрезка BC:

MB + xB + y_C}{2} \right) = \left( \frac{7 + 3}{2}, \frac{1 + 7}{2} \right) = (5, 4)

Теперь находим угловой коэффициент медианы:

mM - yM - x_A} = \frac{4 - (-2)}{5 - 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

Уравнение медианы:

$$y - (-2) = \frac{3}{2}(x - 1)$$

Упрощаем:

$$y + 2 = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}$$

$$y = \frac{3}{2}x - \frac{7}{2}$$

Решим систему уравнений:

1. $y = -2x + 13$ (высота)
2. $y = \frac{3}{2}x - \frac{7}{2}$ (медиана)

Приравняем:

$$-2x + 13 = \frac{3}{2}x - \frac{7}{2}$$

Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей:

$$-4x + 26 = 3x - 7$$

Соберем все $x$ в одну сторону:

$$26 + 7 = 3x + 4x$$

$$33 = 7x \implies x = \frac{33}{7}$$

Теперь подставим $x$ в одно из уравнений, например, в уравнение высоты:

$$y = -2 \cdot \frac{33}{7} + 13 = -\frac{66}{7} + \frac{91}{7} = \frac{25}{7}$$

Таким образом, точка пересечения медианы и высоты:

$$\left( \frac{33}{7}, \frac{25}{7} \right)$$

Параллельная прямая имеет тот же угловой коэффициент $m = \frac{1}{2}$:

$$y - 7 = \frac{1}{2}(x - 3)$$

Упрощаем:

$$y - 7 = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$$

$$y = \frac{1}{2}x + \frac{11}{2}$$

Используем формулу расстояния от точки до прямой:

$$d = \frac{|Ax0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Для прямой $y = \frac{1}{2}x + \frac{11}{2}$ у нас:

$$-\frac{1}{2}x + y - \frac{11}{2} = 0 \implies A = -\frac{1}{2}, B = 1, C = -\frac{11}{2}$$

Подставим точку A(1, -2):

$$d = \frac{|-0.5 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) - 5.5|}{\sqrt{(-0.5)^2 + 1^2}} = \frac{|-0.5 - 2 - 5.5|}{\sqrt{0.25 + 1}} = \frac{|-8|}{\sqrt{1.25}} = \frac{8}{\sqrt{1.25}} = \frac{8}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{5}}$$

Таким образом, все задачи решены.