Условие:
Даны вершины треугольника ABC: A(4-2+1 ;-3), B(4-2 ; 4), C(2 ; 4+1). Найдите: а) длину стороны AB ; б) общие уравнения сторон A B и B C; в) площадь △ A B C, используя векторное произведение.
Решение:
Для решения задачи начнем с определения координат вершин треугольника \( \mathrm{A} \), \( \mathrm{B} \) и \( \mathrm{C} \). 1. Координаты вершин: - Вершина \( \mathrm{A}(4-2+1 ; -3) = (3 ; -3) \) ...
Длина отрезка \( \mathrm{AB} \) вычисляется по формуле: \[ AB = \sqrt{(xA)^2 + (yA)^2} \] Подставим координаты: \[ AB = \sqrt{(2 - 3)^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{(-1)^2 + (4 + 3)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] : Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точки \( \mathrm{A}(3, -3) \) и \( \mathrm{B}(2, 4) \), найдем угловой коэффициент \( k \): \[ k = \frac{yA}{xA} = \frac{4 - (-3)}{2 - 3} = \frac{7}{-1} = -7 \] Используя точку \( \mathrm{A} \) и угловой коэффициент, уравнение прямой в общем виде: \[ y - yA) \implies y + 3 = -7(x - 3) \] Упрощаем: \[ y + 3 = -7x + 21 \implies 7x + y - 18 = 0 \] : Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки \( \mathrm{B}(2, 4) \) и \( \mathrm{C}(2, 5) \). Поскольку обе точки имеют одинаковую абсциссу, прямая вертикальная: \[ x = 2 \] Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| \] Сначала найдем векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \): \[ \vec{AB} = (xA, yA) = (2 - 3, 4 - (-3)) = (-1, 7) \] \[ \vec{AC} = (xA, yA) = (2 - 3, 5 - (-3)) = (-1, 8) \] Теперь вычислим векторное произведение: \[ \vec{AB} \times \vec{AC} = (-1) \cdot 8 - 7 \cdot (-1) = -8 + 7 = -1 \] Теперь подставим в формулу для площади: \[ S = \frac{1}{2} \left| -1 \right| = \frac{1}{2} \] а) Длина стороны \( AB = 5\sqrt{2} \) б) Уравнение стороны \( AB: 7x + y - 18 = 0 \); Уравнение стороны \( BC: x = 2 \) в) Площадь \( \triangle ABC = \frac{1}{2} \)