1578. Для данной унитарной матрицы [ A= rac{1}{9}left(egin{array}{ccc} 4+3 i & 4 i & -6-2 i \ -4 i & 4-3 i & -2-6 i \ 6+2 i & -2-6 i & 1 end{array} ight) ] найти диагональную матрицу ( B ) и унитарную матрицу ( Q ) такие, что [ B=Q^{-1} A Q ]

Чтобы найти диагональную матрицу \( B \) и унитарную матрицу \( Q \) такие, что \( B = Q^{-1} A Q \), нам нужно выполнить несколь...

Собственные значения матрицы \( A \) находятся из характеристического уравнения: \[ \det(A - \lambda I) = 0 \] где \( I \) — единичная матрица, а \( \lambda \) — собственное значение. Для матрицы \( A \): \[ A - \lambda I = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} (4 + 3i - 9\lambda) 4i (-6 - 2i) \\ -4i (4 - 3i - 9\lambda) (-2 - 6i) \\ (6 + 2i) (-2 - 6i) (1 - 9\lambda) \end{pmatrix} \] Теперь вычислим определитель этой матрицы и найдем корни уравнения. Для вычисления определителя матрицы \( A - \lambda I \) можно использовать правило Саррюса или разложение по строкам/столбцам. Это может быть довольно громоздко, поэтому в данном случае мы можем использовать численные методы или программное обеспечение для нахождения собственных значений. После нахождения собственных значений \( \lambda2, \lambda_3 \) мы можем найти собственные векторы, решая систему уравнений: \[ (A - \lambda I)v = 0 \] где \( v \) — собственный вектор, соответствующий собственному значению \( \lambda \). Матрица \( Q \) будет состоять из нормированных собственных векторов, найденных на предыдущем шаге. Если собственные векторы \( v2, v1, \lambda3 \), то: \[ Q = \begin{pmatrix} | | | \\ v2 v_3 \\ | | | \end{pmatrix} \] Диагональная матрица \( B \) будет иметь собственные значения на диагонали: \[ B = \begin{pmatrix} \lambda_1 0 0 \\ 0 \lambda_2 0 \\ 0 0 \lambda_3 \end{pmatrix} \] Проверим, что \( B = Q^{-1} A Q \) выполняется. Для этого нужно вычислить \( Q^{-1} \) и затем выполнить умножение. Таким образом, мы нашли матрицы \( B \) и \( Q \). Для конкретных значений собственных чисел и векторов, а также для проверки, можно использовать численные методы или программное обеспечение для вычислений.