f(x) = 2x ^ 3 - 6x + 4 Для данной функции найдите: 1. Область определения D(f) 2. Производную и критические точки 3. Промежутки монотонности 4. Точки экстремума и экстремумы (значения функции в точка 5. Точки пересечения с осями координат или несколько

Давайте решим задачу по шагам.

1. Область определения D(f)

Функция \( f(x) = 2x^3 - 6x + 4 \) является многочленом, а многочлены определены для всех действительных чисел.

Ответ: \( D(f) = \mathbb{R} \) (все действительные числа).

---

2. Производная и критические точки

Найдем производную функции \( f(x) \):

\[
f(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x + 4) = 6x^2 - 6
\]

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[
6x^2 - 6 = 0
\]

Решим уравнение:

\[
6x^2 = 6 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1
\]

От... Критические точки: \( x = -1 \) и \( x = 1 \). --- Теперь определим знаки производной на промежутках, разделенных критическими точками \( x = -1 \) и \( x = 1 \): - Для \( x -1 \) (например, \( x = -2 \)): \[ f(-2) = 6(-2)^2 - 6 = 24 - 6 = 18 0 \quad (\text{возрастающая}) \] - Для \( -1 x 1 \) (например, \( x = 0 \)): \[ f(0) = 6(0)^2 - 6 = -6 0 \quad (\text{убывающая}) \] - Для \( x 1 \) (например, \( x = 2 \)): \[ f(2) = 6(2)^2 - 6 = 24 - 6 = 18 0 \quad (\text{возрастающая}) \] - Функция возрастает на \( (-\infty, -1) \) и \( (1, +\infty) \). - Функция убывает на \( (-1, 1) \). --- Теперь найдем значения функции в критических точках: \[ f(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) + 4 = -2 + 6 + 4 = 8 \] \[ f(1) = 2(1)^3 - 6(1) + 4 = 2 - 6 + 4 = 0 \] - В точке \( x = -1 \) максимум: \( f(-1) = 8 \). - В точке \( x = 1 \) минимум: \( f(1) = 0 \). - Точка максимума: \( (-1, 8) \). - Точка минимума: \( (1, 0) \). --- - Пересечение с осью \( y \) (при \( x = 0 \)): \[ f(0) = 4 \quad \text{(точка (0, 4))} \] - Пересечение с осью \( x \) (при \( f(x) = 0 \)): \[ 2x^3 - 6x + 4 = 0 \implies x^3 - 3x + 2 = 0 \] Найдем корни этого уравнения. Пробуем \( x = 1 \): \[ 1^3 - 3(1) + 2 = 0 \quad \text{(корень)} \] Разделим многочлен на \( (x - 1) \): \[ x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2) \] Решим \( x^2 + x - 2 = 0 \): \[ (x - 1)(x + 2) = 0 \implies x = 1, -2 \] Точки пересечения с осями координат: \( (0, 4) \), \( (1, 0) \), \( (-2, 0) \). --- График функции можно построить, используя найденные точки и информацию о монотонности. Он будет иметь максимум в точке \( (-1, 8) \) и минимум в точке \( (1, 0) \). --- Функция имеет максимум \( 8 \) и минимум \( 0 \). Так как функция убывает от \( +\infty \) до \( -1 \) и затем возрастает от \( 1 \) до \( +\infty \), область значений будет: \( E(f) = [0, 8] \). --- Решим уравнение: \[ 2x^3 - 6x + 4 = 3 \implies 2x^3 - 6x + 1 = 0 \implies x^3 - 3x + \frac{1}{2} = 0 \] Используя теорему о промежуточном значении, проверим значения функции в точках: - \( f(-2) = 2(-2)^3 - 6(-2) + 4 = -16 + 12 + 4 = 0 \) - \( f(-1) = 8 \) - \( f(0) = 4 \) - \( f(1) = 0 \) Функция меняет знак между \( -2 \) и \( -1 \), а также между \( 0 \) и \( 1 \). Это говорит о том, что у уравнения есть два корня. Уравнение \( f(x) = 3 \) имеет 2 корня.